построй график функции y=2x+1/2x²+x

Чтобы построить график функции \( y = 2x + \frac{1}{2}x^2 + x \), сначала упростим эту функцию.

Шаг 1: Упрощение функции

Функция первоначально записана как: \[ y = 2x + \frac{1}{2}x^2 + x \]

Соберём все слагаемые: \[ y = \frac{1}{2}x^2 + (2x + x) \] \[ y = \frac{1}{2}x^2 + 3x \]

Теперь мы имеем упрощённую функцию: \[ y = \frac{1}{2}x^2 + 3x \]

Шаг 2: Определение типа графика

Это квадратичная функция, которая имеет форму \( y = ax^2 + bx + c \), где \( a = \frac{1}{2} \), \( b = 3 \), и \( c = 0 \). Поскольку \( a > 0 \), парабола будет открываться вверх.

Шаг 3: Нахождение координат вершины параболы

Вершина параболы находится по формуле: \[ x = -\frac{b}{2a} \] Подставляем значения \( a = \frac{1}{2} \) и \( b = 3 \): \[ x = -\frac{3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = -3 \]

Теперь найдем значение \( y \) в этой точке: \[ y = \frac{1}{2}(-3)^2 + 3(-3) = \frac{1}{2} \cdot 9 - 9 = \frac{9}{2} - 9 = \frac{9}{2} - \frac{18}{2} = -\frac{9}{2} \]

Таким образом, координаты вершины параболы: \[ (-3, -\frac{9}{2}) \]

Шаг 4: Нахождение корней функции

Найдем, при каких \( x \) функция равна нулю (\( y = 0 \)): \[ \frac{1}{2}x^2 + 3x = 0 \] Распишем: \[ x(\frac{1}{2}x + 3) = 0 \]

Это уравнение имеет два корня:

1. \( x = 0 \)
2. \( \frac{1}{2}x + 3 = 0 \) \[ \frac{1}{2}x = -3 \] \[ x = -6 \]

Итак, корни функции: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -6 \]

Шаг 5: Построение графика

1. Вершина: \( (-3, -\frac{9}{2}) \)
2. Корни: \( (0, 0) \) и \( (-6, 0) \)

Теперь вы можете нарисовать график, используя полученные данные:

• Обозначьте оси \( x \) и \( y \).
• Нанесите точки \( (-3, -\frac{9}{2}) \), \( (0, 0) \) и \( (-6, 0) \).
• Соедините точки плавной кривой, открываясь вверх.

Итог

График функции \( y = \frac{1}{2}x^2 + 3x \) — это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( (-3, -\frac{9}{2}) \) и корнями в точках \( (0, 0) \) и \( (-6, 0) \).