На реке организованы теплоходные туры выходного дня. Судно прошло по течению 126 км до стоянки, на которой пассажирам предложили выход на экскурсию (это мероприятие заняло 8 ч),…
На реке организованы теплоходные туры выходного дня. Судно прошло по течению 126 км до стоянки, на которой пассажирам предложили выход на экскурсию (это мероприятие заняло 8 ч), после чего теплоход вернулся обратно к месту отплытия. Какова скорость теплохода против течения, если известно, что скорость течения реки Волга на этом участке составляет в среднем 2 км/ч, а длительность всей поездки составляет ровно сутки?
Для решения этой задачи давайте рассмотрим все детали и разобьем ее на этапы.
1. Данные из условия задачи:
- Расстояние в одну сторону по течению (до стоянки): 126 км
- Время экскурсии: 8 часов
- Скорость течения реки (V_т): 2 км/ч
- Общая длительность поездки: 24 часа
2. Определим переменные:
Допустим, скорость теплохода в спокойной воде (против течения) – это V.
3. Скорости теплохода:
- При движении по течению скорость теплохода составит \( V + V_т = V + 2 \) км/ч.
- При движении против течения скорость теплохода составит \( V - V_т = V - 2 \) км/ч.
4. Расчитаем время в пути:
Время в пути по течению до стоянки:
\[ t_по_течению = \frac{126 \text{ км}}{V + 2 \text{ км/ч}} \]Время в пути против течения обратно:
\[ t_против_течения = \frac{126 \text{ км}}{V - 2 \text{ км/ч}} \]
5. Полное время в пути:
Согласно условию, полное время на поездку (включая время экскурсии) равно 24 часа:
\[
t_по_течению + t_против_течения + 8 \text{ ч} = 24 \text{ ч}
\]
Подставим найденные времена:
\[
\frac{126}{V + 2} + \frac{126}{V - 2} + 8 = 24
\]
6. Упростим уравнение:
Сначала уберём 8 часов:
\[
\frac{126}{V + 2} + \frac{126}{V - 2} = 16
\]
7. Приведём к общему знаменателю:
Общий знаменатель будет \((V + 2)(V - 2)\):
\[
\frac{126(V - 2) + 126(V + 2)}{(V + 2)(V - 2)} = 16
\]
Сложим числители:
\[
\frac{126V - 252 + 126V + 252}{(V + 2)(V - 2)} = 16
\]
Это упрощается до:
\[
\frac{252V}{(V + 2)(V - 2)} = 16
\]
8. Умножим обе стороны на \((V + 2)(V - 2)\): \[ 252V = 16(V^2 - 4) \]
9. Раскроем скобки: \[ 252V = 16V^2 - 64 \]
10. Приведём уравнение к стандартному виду: \[ 16V^2 - 252V - 64 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = (-252)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-64)\):
\[
D = 63504 + 4096 = 67600
\]
\[
D = 260^2
\]
12. Найдём корни: \[ V = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{252 \pm 260}{32} \] Решения:
- \( V_1 = \frac{512}{32} = 16 \) км/ч
- \( V_2 = \frac{-8}{32} = -0.25 \) (отрицательное значение не имеет физического смысла)
Ответ: Скорость теплохода против течения составляет 16 км/ч.
