Для нахождения уравнения окружности, зная координаты её центра и точку, принадлежащую окружности, мы используем стандартную формулу уравнения окружности.
Формула уравнения окружности:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]
где:
- ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности,
- (r) — радиус окружности.
Шаг 1: Определение центра и радиуса окружности
- Координаты центра окружности: точка (p(8, -7)) является центром окружности, значит, (x_0 = 8) и (y_0 = -7).
- Точка на окружности: точка (f(-5, 2)) принадлежит окружности. Используем её координаты для вычисления радиуса.
Шаг 2: Вычисление радиуса
Радиус (r) окружности равен расстоянию между центром окружности и любой точкой на окружности. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками:
[
r = \sqrt{(x_f - x_p)^2 + (y_f - y_p)^2}
]
где:
- ( (x_f, y_f) ) — координаты точки (f),
- ( (x_p, y_p) ) — координаты центра (p).
Подставим значения:
[
r = \sqrt{((-5) - 8)^2 + (2 - (-7))^2}
]
Теперь вычислим:
[
r = \sqrt{(-13)^2 + (9)^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}
]
Шаг 3: Составление уравнения окружности
Теперь, имея координаты центра ( (8, -7) ) и радиус ( r = 5\sqrt{10} ), подставим их в формулу уравнения окружности:
[
(x - 8)^2 + (y + 7)^2 = (5\sqrt{10})^2
]
Вычисляем ( (5\sqrt{10})^2 ):
[
(5\sqrt{10})^2 = 25 \cdot 10 = 250
]
Итак, уравнение окружности будет иметь следующий вид:
[
(x - 8)^2 + (y + 7)^2 = 250
]
Ответ
Уравнение окружности с центром в точке (p(8, -7)) и проходящей через точку (f(-5, 2)) записывается так:
[
(x - 8)^2 + (y + 7)^2 = 250
]
