№2. точка f(-5; 2) принадлежит окружности, а точка p(8;-7) - центр этой окружности. составьте уравнение окружности.
Для нахождения уравнения окружности, зная координаты её центра и точку, принадлежащую окружности, мы используем стандартную формулу уравнения окружности.
Формула уравнения окружности: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \] где:
- \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности,
- \(r\) — радиус окружности.
Шаг 1: Определение центра и радиуса окружности
- Координаты центра окружности: точка \(p(8, -7)\) является центром окружности, значит, \(x_0 = 8\) и \(y_0 = -7\).
- Точка на окружности: точка \(f(-5, 2)\) принадлежит окружности. Используем её координаты для вычисления радиуса.
Шаг 2: Вычисление радиуса
Радиус \(r\) окружности равен расстоянию между центром окружности и любой точкой на окружности. Мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками: \[ r = \sqrt{(x_f - x_p)^2 + (y_f - y_p)^2} \] где:
- \( (x_f, y_f) \) — координаты точки \(f\),
- \( (x_p, y_p) \) — координаты центра \(p\).
Подставим значения: \[ r = \sqrt{((-5) - 8)^2 + (2 - (-7))^2} \] Теперь вычислим: \[ r = \sqrt{(-13)^2 + (9)^2} = \sqrt{169 + 81} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \]
Шаг 3: Составление уравнения окружности
Теперь, имея координаты центра \( (8, -7) \) и радиус \( r = 5\sqrt{10} \), подставим их в формулу уравнения окружности: \[ (x - 8)^2 + (y + 7)^2 = (5\sqrt{10})^2 \]
Вычисляем \( (5\sqrt{10})^2 \): \[ (5\sqrt{10})^2 = 25 \cdot 10 = 250 \]
Итак, уравнение окружности будет иметь следующий вид: \[ (x - 8)^2 + (y + 7)^2 = 250 \]
Ответ
Уравнение окружности с центром в точке \(p(8, -7)\) и проходящей через точку \(f(-5, 2)\) записывается так: \[ (x - 8)^2 + (y + 7)^2 = 250 \]
