задача на фото

Решим задачу по нахождению скалярного произведения векторов.

У нас дан равносторонний треугольник \(ABC\) со стороной \(AB = 4\), и \(AM\) — его медиана. Необходимо найти скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\).

Шаг 1: Понимание свойств треугольника

Поскольку треугольник \(ABC\) равносторонний, все его углы равны \(60^\circ\), и все стороны равны.

Медиана в равностороннем треугольнике также является биссектрисой и высотой. На этом основании, точка \(M\) — середина отрезка \(BC\).

Шаг 2: Координатное представление

Для простоты введем координаты:

• Пусть точка \(A\) будет \((0,0)\).
• Так как \(AB = 4\), выберем координаты точки \(B\) как \((4,0)\).

Теперь найдем координаты точки \(C\). Из свойства равностороннего треугольника, \(C\) будет находиться на окружности с центром в \(A\) и радиусом \(4\).

Точка \(C\) также образует угол \(60^\circ\) с горизонтальной осью, поэтому ее координаты будут:

• \(C(x, y) = \left(2, 2\sqrt{3}\right)\).

Теперь точка \(M\) — середина \(BC\). Вычислим координаты точки \(M\):

• \(M\left(\frac{4+2}{2}, \frac{0+2\sqrt{3}}{2}\right) = (3, \sqrt{3})\).

Шаг 3: Векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\)

• \(\vec{AB} = B - A = (4, 0) - (0, 0) = (4, 0)\).
• \(\vec{AM} = M - A = (3, \sqrt{3}) - (0, 0) = (3, \sqrt{3})\).

Шаг 4: Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\) вычисляется по формуле: \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1 \cdot y_2 \]

Подставляем наши значения: \[ \vec{AB} \cdot \vec{AM} = 4 \cdot 3 + 0 \cdot \sqrt{3} = 12 + 0 = 12 \]

Итог

Скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AM}\) равно 12.