задача с фото

Для решения задачи нужно найти скалярное произведение векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{CA}\) в равностороннем треугольнике \(ABC\) со стороной \(AB = 4\).

Шаг 1: Понимание векторов в равностороннем треугольнике

Рассмотрим равносторонний треугольник \(ABC\), где все стороны равны, и сторона \(AB = 4\).

• Вектор \(\vec{BC}\) направлен от \(B\) к \(C\).
• Вектор \(\vec{CA}\) направлен от \(C\) к \(A\).

Шаг 2: Координаты точек

Предположим, что \(A\) находится в начале координат \((0, 0)\), \(B\) находится в точке \((4, 0)\). Чтобы найти координаты \(C\), используем свойства равностороннего треугольника:

• \(C\) находится на расстоянии 4 от \(A\) и \(B\).

Координаты точки \(C\):

• \(x\)-координата: \( \frac{4}{2} = 2 \).
• \(y\)-координата: \( \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \).

Значит, координаты \(C\) — \((2, 2\sqrt{3})\).

Шаг 3: Векторы в координатной форме

Теперь найдём координаты векторов:

• \(\vec{BC} = C - B = (2 - 4, 2\sqrt{3} - 0) = (-2, 2\sqrt{3})\).
• \(\vec{CA} = A - C = (0 - 2, 0 - 2\sqrt{3}) = (-2, -2\sqrt{3})\).

Шаг 4: Скалярное произведение

Скалярное произведение \(\vec{BC} \cdot \vec{CA}\) вычисляется как: \[ \vec{BC} \cdot \vec{CA} = (-2) \cdot (-2) + (2\sqrt{3}) \cdot (-2\sqrt{3}) \] \[ = 4 - 12 = -8 \]

Ответ

Скалярное произведение векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{CA}\) равно \(-8\).