1. Дана функция f (х) = 10х - 1.
Ответьте на вопросы:
При каких значениях аргумента f (x) =0, f (x) < 0, f (x) > 0? Является ли эта функция возрастающей? Если да, то почему?
2. Постройте график функции у = х²+10x + 25.
С помощью графика найдите:
а) область определения и область значения;
б) нули функции;
в) промежутки знакопостоянства (положительные и отрицательные значения функции);
г) промежутки возрастания и убывания;
д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.
Давайте разберем поставленные задачи шаг за шагом.
### Задача 1: Функция \( f(x) = 10x - 1 \)
1. **Найти, при каких значениях аргумента:**
- **\( f(x) = 0 \)**:
\[
10x - 1 = 0 \implies 10x = 1 \implies x = \frac{1}{10}
\]
Итак, \( f(x) = 0 \) при \( x = \frac{1}{10} \).
- **\( f(x) < 0 \)**:
\[
10x - 1 < 0 \implies 10x < 1 \implies x < \frac{1}{10}
\]
Таким образом, функция отрицательна на интервале \( (-\infty, \frac{1}{10}) \).
- **\( f(x) > 0 \)**:
\[
10x - 1 > 0 \implies 10x > 1 \implies x > \frac{1}{10}
\]
Функция положительна на интервале \( (\frac{1}{10}, +\infty) \).
2. **Является ли функция возрастающей?**
Да, функция \( f(x) = 10x - 1 \) является возрастающей. Это видно из того, что коэффициент перед \( x \) положителен (10). Значение функции возрастает с увеличением \( x \).
### Задача 2: График функции \( y = x^2 + 10x + 25 \)
Преобразуем функцию:
\[
y = (x + 5)^2
\]
Это квадратное уравнение, и его график будет параболой, открытой вверх.
1. **Область определения и область значений**:
- **Область определения**: Поскольку это квадратная функция, область определения — все реальные числа \( (-\infty, +\infty) \).
- **Область значений**: Парабола достигает своего минимума в вершине в точке \( x = -5 \), тогда:
\[
y = (x + 5)^2 \implies \text{мин. значение} = 0
\]
Следовательно, область значений: \( [0, +\infty) \).
2. **Нули функции**:
Нули функции находятся при \( y = 0 \):
\[
(x + 5)^2 = 0 \implies x + 5 = 0 \implies x = -5
\]
Следовательно, нули функции: \( x = -5 \).
3. **Промежутки знакопостоянства**:
- \( y \geq 0 \) для всех \( x \) (функция положительна).
- \( y = 0 \) только при \( x = -5 \).
4. **Промежутки возрастания и убывания**:
- Функция \( y = (x + 5)^2 \) убывает на интервале \( (-\infty, -5) \) и возрастает на интервале \( (-5, +\infty) \).
5. **Наименьшее и наибольшее значения функции**:
- Наименьшее значение: 0, при \( x = -5 \).
- Наибольшее значение не существует, так как функция возрастает до бесконечности.
### Подведение итогов:
- Для функции \( f(x) = 10x - 1 \):
- \( f(x) = 0 \) при \( x = \frac{1}{10} \),
- \( f(x) < 0 \) при \( x < \frac{1}{10} \),
- \( f(x) > 0 \) при \( x > \frac{1}{10} \),
- Функция является возрастающей.
- Для функции \( y = x^2 + 10x + 25 \):
- Область определения: \( (-\infty, +\infty) \),
- Область значений: \( [0, +\infty) \),
- Нули функции: \( x = -5 \),
- Промежутки знакопостоянства: \( y \geq 0 \),
- Убывание: \( (-\infty, -5) \), Возрастание: \( (-5, +\infty) \),
- Наименьшее значение: 0 при \( x = -5 \), наибольшего значения нет.
