### Задание 12 Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О - центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 135°. ### Задание 14…

Решение заданий

Задание 12

Условие: Найдите угол АСО, если сторона СА касается окружности, O - центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 135°.

Объяснение:

1. Когда угол образуется между касательной (CA) и секущей (согласно условию, АС касается окружности в точке C), то его отношение к соответствующей дуге определяется следующим образом:
   • Угол между касательной и секущей равен половине разности величин дуг, заключённых между касательной и секущей.
2. У нас есть дуга AD, которая равна 135°. Так как она превышает 180°, соответственно, рассматриваемая дуга, не замкнутая в 180°, составляет 360° - 135° = 225°.
3. Применяя формулу:
   \[\angle ACO = \frac{1}{2} \cdot (д. AD - д. AC)\] Тем не менее, в данной ситуации, чтобы найти угол АСО, мы можем использовать: \[\angle ACO = \frac{1}{2} \cdot д. AD\]
4. Подставляем значение для дуги AD: \[\angle ACO = \frac{1}{2} \cdot 135° = 67.5°\]

Ответ: Угол АСО равен 67.5°.

Задание 14

Условие: Отрезок AB = 24 касается окружности радиуса 7 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Объяснение:

1. Поскольку отрезок AB касается окружности в точке B, можно использовать теорему о касательной: \[AB^2 = AO \cdot AD\] где AO – это отрезок от точки A до центра O, а AD – отрезок от точки A до точки D (где окружность пересекает отрезок AO).
2. Отметим, что отрезок OB равен радиусу окружности, то есть 7, и рассматриваем прямоугольный треугольник AOB, где AB – это катет, а AO – гипотенуза.
3. По теореме Пифагора: \[AO^2 = AB^2 + OB^2\] Подставляем значения: \[AO^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625\] \[AO = \sqrt{625} = 25\]
4. Теперь подставляем значение AO в уравнение касательной: \[24^2 = 25 \cdot AD\] \[576 = 25 \cdot AD\] \[AD = \frac{576}{25} = 23.04\]

Ответ: AD = 23.04.

Задание 16

Условие: К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 8, AO = 10.

Объяснение:

1. Известно, что длина касательной в квадрате равна произведению расстояния от точки до центра окружности (AO) на радиус (r): \[AB^2 = AO \cdot r\]
2. Подставим известные значения: \[8^2 = 10 \cdot r\] \[64 = 10r\]
3. Найдем радиус r: \[r = \frac{64}{10} = 6.4\]

Ответ: Радиус окружности равен 6.4.

Задача 10

Условие: Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 3, AC = 27. Найдите AK.

Объяснение:

1. Используем теорему о секущей и касательной: \[AK^2 = AB \cdot AC\]
2. Подставляем известные значения для AB и AC: \[AK^2 = 3 \cdot 27 = 81\]
3. Находим AK: \[AK = \sqrt{81} = 9\]

Ответ: AK = 9.