Построй график функции y=|x^2+3x+2|

Чтобы построить график функции \( y = |x^2 + 3x + 2| \), следуем пошагово: ### Шаг 1: Найдем корни квадратного уравнения Сначала найдем, когда выражение внутри модуля \( x^2 + 3x + 2 \) равно нулю. Для этого решим уравнение: \[ x^2 + 3x + 2 = 0 \] Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы корней или путем разложения на множители. В данном случае оно легко раскладывается: \[ (x + 1)(x + 2) = 0 \] Таким образом, корни уравнения: \[ x_1 = -1, \quad x_2 = -2 \] ### Шаг 2: Исследование знака функции Теперь выясним, где функция \( x^2 + 3x + 2 \) положительна, а где отрицательна. Мы анализируем промежутки, определенные корнями: - \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): - \( (-3)^2 + 3(-3) + 2 = 9 - 9 + 2 = 2 > 0 \) (функция положительна) - \( -2 < x < -1 \) (например, \( x = -1.5 \)): - \( (-1.5)^2 + 3(-1.5) + 2 = 2.25 - 4.5 + 2 = -0.25 < 0 \) (функция отрицательна) - \( x > -1 \) (например, \( x = 0 \)): - \( 0^2 + 3(0) + 2 = 2 > 0 \) (функция положительна) Таким образом, у нас есть следующая информация о знаках: - На промежутке \( (-\infty, -2) \): \( x^2 + 3x + 2 \geq 0 \) - На промежутке \( (-2, -1) \): \( x^2 + 3x + 2 < 0 \) - На промежутке \( (-1, +\infty) \): \( x^2 + 3x + 2 \geq 0 \ ### Шаг 3: Определим функцию с учетом модуля Теперь мы можем записать функцию без модуля на каждом из интервалов: - Для \( x < -2 \): \( y = x^2 + 3x + 2 \) - Для \( -2 < x < -1 \): \( y = -(x^2 + 3x + 2) = -x^2 - 3x - 2 \) - Для \( x > -1 \): \( y = x^2 + 3x + 2 \) ### Шаг 4: Построение графика функций 1. **На промежутке \( (-\infty, -2) \)**: - Мы имеем параболу, открывающуюся вверх. - Это классическая парабола, поскольку коэффициент при \( x^2 \) положителен. 2. **На промежутке \( (-2, -1) \)**: - Здесь мы имеем перевернутую параболу (открывающуюся вниз). 3. **На промежутке \( (-1, +\infty) \)**: - Вернулись к параболе, открывающейся вверх. ### Шаг 5: Уточнение точек для построения графика - **Ключевые точки**: - На \( x = -2 \), \( y = 0 \) (перепад функции). - На \( x = -1 \), \( y = 0 \) (вторая точка перепада). - Для других значений \( x \) можно вычислить \( y \) в частности на краях интервалов или в несколько точки, чтобы получить более точный график. ### Шаг 6: Построение графика Теперь, имея всю информацию, вы можете нарисовать график: - На \( (-\infty, -2) \) будет растущая парабола. - На \( (-2, -1) \) будет убывающая парабола, достигающая минимума в \( (-2, 0) \). - На \( (-1, +\infty) \) график снова будет расти. Этот подход предоставит вам полный график функции \( y = |x^2 + 3x + 2| \).