* Стороны правильного треугольника АВС равны 3√3. Найдите длину вектора АВ + AC.

Для решения задачи начнем с того, что у нас есть правильный треугольник \( ABC \) со сторонами равными \( 3\sqrt{3} \). Мы хотим найти длину вектора \( \vec{AB} + \vec{AC} \).

Шаг 1: Определение координат точек треугольника

Правильный треугольник может быть удобно размещён в координатной системе. Давайте поместим точку \( A \) в начало координат \( (0, 0) \), точку \( B \) на оси \( x \) в точке \( (3\sqrt{3}, 0) \), а точку \( C \) будем находить по следующему принципу. Для правильного треугольника высота из вершины \( C \) будет делить основание \( AB \) пополам и образует прямой угол. В таком треугольнике высота \( h \) вычисляется по формуле:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \]

где \( a \) — длина стороны треугольника. В нашем случае:

\[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3\sqrt{3} = \frac{3 \cdot 3}{2} = \frac{9}{2} \]

Таким образом, точка \( C \) будет находиться на оси \( y \) в координатах \( \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right) \).

Итак, мы можем записать координаты точек:

• \( A(0, 0) \)
• \( B(3\sqrt{3}, 0) \)
• \( C\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right) \)

Шаг 2: Нахождение векторов

Теперь вычислим векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).

1. Вектор \( \vec{AB} \) можно найти по формуле: \[ \vec{AB} = B - A = (3\sqrt{3}, 0) - (0, 0) = (3\sqrt{3}, 0) \]

2. Вектор \( \vec{AC} \): \[ \vec{AC} = C - A = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right) - (0, 0) = \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right) \]

Шаг 3: Сложение векторов

Теперь складываем векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \): \[ \vec{AB} + \vec{AC} = (3\sqrt{3}, 0) + \left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right) = \left(3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2}, 0 + \frac{9}{2}\right) \]

Объединим компоненты:

1. Для \( x \)-компоненты: \[ 3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2} \]

2. Для \( y \)-компоненты: \[ 0 + \frac{9}{2} = \frac{9}{2} \]

Теперь мы имеем: \[ \vec{AB} + \vec{AC} = \left(\frac{9\sqrt{3}}{2}, \frac{9}{2}\right) \]

Шаг 4: Нахождение длины итогового вектора

Длина вектора \( \vec{AB} + \vec{AC} \) рассчитывается по формуле:

\[ ||\vec{v}|| = \sqrt{x^2 + y^2} \]

где \( x = \frac{9\sqrt{3}}{2} \) и \( y = \frac{9}{2} \).

Вычислим длину: \[ ||\vec{AB} + \vec{AC}|| = \sqrt{\left(\frac{9\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{9}{2}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{81 \cdot 3}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{243 + 81}{4}} = \sqrt{\frac{324}{4}} = \sqrt{81} = 9 \]

Ответ

Таким образом, длина вектора \( \vec{AB} + \vec{AC} \) равна 9.