Чтобы найти длину вектора ( \mathbf{b} ), воспользуемся данными о векторе ( \mathbf{a} ) и их характеристиками. Для решения необходимо учесть формулы, связанные со скалярным произведением векторов, длиной векторов и углом между ними.
Данные:
- Длина вектора ( \mathbf{a} ): ( |\mathbf{a}| = 15\sqrt{2} )
- Угол между векторами ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{b} ): ( \theta = 135^\circ )
- Скалярное произведение ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -120 )
Шаг 1: Используем формулу для скалярного произведения.
Скалярное произведение двух векторов можно выразить через их длины и угол между ними:
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)
]
Шаг 2: Подставим известные значения.
Подставляя известные значения в формулу, получаем:
[
-120 = (15\sqrt{2}) |\mathbf{b}| \cos(135^\circ)
]
Шаг 3: Найдем значение ( \cos(135^\circ) ).
Зная, что ( \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} ), подставим это значение:
[
-120 = (15\sqrt{2}) |\mathbf{b}| \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
]
Шаг 4: Упростим уравнение.
Упрощая уравнение, умножим обе стороны на (-1):
[
120 = (15\sqrt{2}) |\mathbf{b}| \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
]
Затем упростим правую часть:
[
120 = 15 |\mathbf{b}|
]
Шаг 5: Найдем длину вектора ( |\mathbf{b}| ).
Разделим обе стороны уравнения на 15:
[
|\mathbf{b}| = \frac{120}{15} = 8
]
Ответ:
Длина вектора ( \mathbf{b} ) равна ( 8 ).
