5. Длина вектора а равна 15√2, угол между векторами а и в равен 135°, а скалярное произведение аб равно -120. Найдите длину вектора в
Чтобы найти длину вектора \( \mathbf{b} \), воспользуемся данными о векторе \( \mathbf{a} \) и их характеристиками. Для решения необходимо учесть формулы, связанные со скалярным произведением векторов, длиной векторов и углом между ними.
Данные:
- Длина вектора \( \mathbf{a} \): \( |\mathbf{a}| = 15\sqrt{2} \)
- Угол между векторами \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \): \( \theta = 135^\circ \)
- Скалярное произведение \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -120 \)
Шаг 1: Используем формулу для скалярного произведения.
Скалярное произведение двух векторов можно выразить через их длины и угол между ними:
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta) \]
Шаг 2: Подставим известные значения.
Подставляя известные значения в формулу, получаем:
\[ -120 = (15\sqrt{2}) |\mathbf{b}| \cos(135^\circ) \]
Шаг 3: Найдем значение \( \cos(135^\circ) \).
Зная, что \( \cos(135^\circ) = -\frac{1}{\sqrt{2}} \), подставим это значение:
\[ -120 = (15\sqrt{2}) |\mathbf{b}| \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]
Шаг 4: Упростим уравнение.
Упрощая уравнение, умножим обе стороны на \(-1\):
\[ 120 = (15\sqrt{2}) |\mathbf{b}| \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \]
Затем упростим правую часть:
\[ 120 = 15 |\mathbf{b}| \]
Шаг 5: Найдем длину вектора \( |\mathbf{b}| \).
Разделим обе стороны уравнения на 15:
\[ |\mathbf{b}| = \frac{120}{15} = 8 \]
Ответ:
Длина вектора \( \mathbf{b} \) равна \( 8 \).
