Y=x^3-3x исследовать функцию и построить график

Давайте исследуем функцию \( y = x^3 - 3x \) и построим её график. Мы сделаем это, следуя нескольким шагам: найдем производную, определим критические точки, исследуем поведение функции на интервалах, и, наконец, построим график. ### 1. Нахождение производной Сначала найдем первую производную функции \( y \): \[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 \] ### 2. Найдем критические точки Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] Решим это уравнение: \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] Таким образом, критические точки: \[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \] ### 3. Исследуем поведение функции Теперь определим, как функция ведет себя на интервалах, образованных критическими точками. Мы проверим знаки производной на интервалах \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), и \( (1, \infty) \). - Для интервала \( (-\infty, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \] Функция возрастает. - Для интервала \( (-1, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \] Функция убывает. - Для интервала \( (1, \infty) \) (например, \( x = 2 \)): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \] Функция опять возрастает. ### 4. Нахождение значений функции в критических точках Теперь найдем значения функции в критических точках: - Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \] - Для \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \] ### 5. Поведение на границах Теперь посмотрим на поведение функции при \( x \to -\infty \) и \( x \to +\infty \): - При \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \). - При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). ### 6. Понимание графика функции Теперь мы можем сделать выводы о графике функции: - Функция растет на интервале \( (-\infty, -1) \), достигает максимума в точке \((-1, 2)\). - Функция убывает на интервале \((-1, 1)\), достигает минимума в точке \( (1, -2) \). - Функция снова растет на интервале \( (1, \infty) \). ### График функции График функции будет выглядеть следующим образом: 1. Отрицательная часть, убывающая до точки \( (-1, 2) \). 2. Минимум в точке \( (1, -2) \). 3. Далее функция будет продолжать расти. ### Итог Теперь у нас есть полное представление о функции \( y = x^3 - 3x \). Мы изучили её поведение, нашли критические точки и поняли, как выглядит график. На данном этапе вы можете построить график с помощью графического калькулятора, используя найденные точки и поведение функции.