y=x^3-3x исследовать функцию и построить график

Давайте исследуем функцию \( y = x^3 - 3x \) и построим её график. Мы сделаем это, следуя нескольким шагам: найдем производную, определим критические точки, исследуем поведение функции на интервалах, и, наконец, построим график.

1. Нахождение производной

Сначала найдем первую производную функции \( y \):

\[ y' = \frac{dy}{dx} = 3x^2 - 3 \]

2. Найдем критические точки

Чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 - 3 = 0 \]

Решим это уравнение:

\[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \]

Таким образом, критические точки:

\[ x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1 \]

3. Исследуем поведение функции

Теперь определим, как функция ведет себя на интервалах, образованных критическими точками. Мы проверим знаки производной на интервалах \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 1) \), и \( (1, \infty) \).

• Для интервала \( (-\infty, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 3(-2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \] Функция возрастает.

• Для интервала \( (-1, 1) \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 3 = -3 < 0 \] Функция убывает.

• Для интервала \( (1, \infty) \) (например, \( x = 2 \)): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 3 = 12 - 3 = 9 > 0 \] Функция опять возрастает.

4. Нахождение значений функции в критических точках

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• Для \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \]

• Для \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \]

5. Поведение на границах

Теперь посмотрим на поведение функции при \( x \to -\infty \) и \( x \to +\infty \):

• При \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \).
• При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \).

6. Понимание графика функции

Теперь мы можем сделать выводы о графике функции:

• Функция растет на интервале \( (-\infty, -1) \), достигает максимума в точке \((-1, 2)\).
• Функция убывает на интервале \((-1, 1)\), достигает минимума в точке \( (1, -2) \).
• Функция снова растет на интервале \( (1, \infty) \).

График функции

График функции будет выглядеть следующим образом:

1. Отрицательная часть, убывающая до точки \( (-1, 2) \).
2. Минимум в точке \( (1, -2) \).
3. Далее функция будет продолжать расти.

Итог

Теперь у нас есть полное представление о функции \( y = x^3 - 3x \). Мы изучили её поведение, нашли критические точки и поняли, как выглядит график. На данном этапе вы можете построить график с помощью графического калькулятора, используя найденные точки и поведение функции.