Тест 18. Прямоугольный треугольник Вариант 1 A1. В прямоугольном треугольнике: 1) катет, лежащий против угла, равного 45°, вдвое меньше гипотенузы 2) острые углы равны 3) если катет равен половине гипотенузы, то против него лежит угол, равный половине прямого угла 4) катет, лежащий против угла, равного 30°, равен половине гипотенузы А2. Прямоугольные треугольники равны, если: 1) гипотенуза и угол одного треугольника равны гипо- тенузе и углу другого треугольника 2) два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника 3) гипотенуза и катет одного треугольника равны гипо- тенузе и катету другого треугольника 4) катет и угол одного треугольника равны катету и углу другого треугольника A3. В треугольнике ABC ZC = 90°, ZB = 60°, CB = 6 см. Чему равна сторона АВ? 1) 12 см 3) 3 см 2) 6 см 4) 10 см A4. В треугольнике ABC ZC = 90°, AB = 15 см, CB = 7,5 см. Чему равен ZB? 1) 90° 3) 60° 2) 30° 4) 45° B1. В прямоугольном треугольнике АВС угол между бис- сектрисой СКи высотой СН, проведенными из вершины прямого угла С, равен 15°. Сторона АВ = 14 см. Найдите сторону АС, если известно, что точка Клежит между Ви Н. C1. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а основание - 12 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне. 56

Давайте разберем задачу, состоящую из нескольких вопросов о прямоугольных треугольниках и связанных с ними свойствах. Начнем с каждого из пунктов по порядку. ### А1. Свойства прямоугольного треугольника 1. **Катет против угла 45°**: В прямоугольном треугольнике, где углы равны 45°, катеты равны между собой. Если один катет равен \(x\), то гипотенуза будет равна \(x\sqrt{2}\) (по теореме Пифагора). 2. **Острые углы равны**: В прямоугольном треугольнике, если один угол равен 45°, то другой острый угол также равен 45°. Это следует из того, что сумма углов треугольника равна 180°, а один угол 90°. 3. **Катет равен половине гипотенузы**: Это свойство относится к углу 30°. Если против угла, равного 30°, лежит катет, то он равен половине гипотенузы. 4. **Катет против угла 30°**: Как только мы установили, что угол 30° относится к катету, который равен половине гипотенузы, это также совпадает с предыдущим утверждением. ### А2. Признаки равенства прямоугольных треугольников 1. **Гипотенуза и угол**: Если известны гипотенуза и один из острых углов одного треугольника, то они равны гипотенузе и углу другого треугольника. 2. **Два угла**: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники равны (по признаку равенства треугольников по двум углам). 3. **Гипотенуза и катет**: Если известны гипотенуза и один катет одного треугольника, равные гипотенузе и катету другого треугольника, то треугольники равны. 4. **Катет и угол**: Если катет и один из углов одного треугольника равны катету и углу другого, то треугольники равны. ### А3. Задача о нахождении стороны АВ В треугольнике ABC: - \(ZC = 90°\) - \(ZB = 60°\) (острой угол треугольника) - \(CB = 6\) см (катет) Используем отношение сторон в прямоугольном треугольнике: - Против угла 30° (который равен \(90° - 60°\)) лежит катет, равный половине гипотенузы. - Поскольку угол \(ZB = 60°\), то угол \(ZC (90°) - ZB (60°) = 30°\). Если \(CB = 6\) см, то: - по отношению 1: √3 : 2, - гипотенуза (AB = ?) будет равна \(CB \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \approx 6.93\). ### А4. Нахождение угла ZB В треугольнике ABC с - \(ZC = 90°\) - \(AB = 15\) см (гипотенуза) - \(CB = 7,5\) см (катет) Для нахождения угла \(ZB\) в этом треугольнике: - Используем соотношение \(sin(ZB) = \frac{CB}{AB} = \frac{7,5}{15} = 0,5\). Следовательно, - \(ZB = 30°\). ### B1. Угол между биссектрисой и высотой Для данной задачи: - Известно, что угол между биссектрисой \(CK\) и высотой \(CH\) равен 15°. - Нам нужно найти сторону \(AC\). Поскольку в задачи не указаны другие стороны, можно использовать свойства прямоугольного треугольника, но для этой конкретной задачи необходимы дополнительные данные. ### C1. Высота в равнобедренном треугольнике В равнобедренном треугольнике, если один из углов равен 120° и основание равно 12 см: 1. Разделите в равнобедренном треугольнике на два равных прямоугольных треугольника. 2. В каждом из них будет угол 60° и основание 6 см, и необходимо найти высоту. 3. Высота \(h\) связана с основанием через 60° и может вычисляться по формуле: \(h = 6\sqrt{3}\). Таким образом, это основные вопросы и пояснения по данной теме. Если возникли непонятные моменты или нужна дополнительная информация, задавайте вопросы!