Вычислите сумму всех членов арифметической прогрессии (an) с нечётными номерами, не превосходящими 13, если а₁ = 4 и d = -5.

Чтобы найти сумму всех членов арифметической прогрессии (АП), которые имеют нечётные номера и не превосходят 13, начнем с определения первого и последующих членов.

Шаг 1: Определение членов АП

Арифметическая прогрессия задана первым элементом \( a_1 = 4 \) и разностью \( d = -5 \). Формула для \( n \)-го члена АП выглядит следующим образом:

\[ a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \]

Подставим значения в формулу для первых 13 членов:

1. \( a_1 = 4 \)
2. \( a_2 = 4 + (2 - 1) \cdot (-5) = 4 - 5 = -1 \)
3. \( a_3 = 4 + (3 - 1) \cdot (-5) = 4 - 10 = -6 \)
4. \( a_4 = 4 + (4 - 1) \cdot (-5) = 4 - 15 = -11 \)
5. \( a_5 = 4 + (5 - 1) \cdot (-5) = 4 - 20 = -16 \)
6. \( a_6 = 4 + (6 - 1) \cdot (-5) = 4 - 25 = -21 \)
7. \( a_7 = 4 + (7 - 1) \cdot (-5) = 4 - 30 = -26 \)
8. \( a_8 = 4 + (8 - 1) \cdot (-5) = 4 - 35 = -31 \)
9. \( a_9 = 4 + (9 - 1) \cdot (-5) = 4 - 40 = -36 \)
10. \( a_{10} = 4 + (10 - 1) \cdot (-5) = 4 - 45 = -41 \)
11. \( a_{11} = 4 + (11 - 1) \cdot (-5) = 4 - 50 = -46 \)
12. \( a_{12} = 4 + (12 - 1) \cdot (-5) = 4 - 55 = -51 \)
13. \( a_{13} = 4 + (13 - 1) \cdot (-5) = 4 - 60 = -56 \)

Шаг 2: Определение членов АП с нечётными номерами

Нечётные номера в нашем случае — это 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Теперь выписываем соответствующие члены:

• \( a_1 = 4 \)
• \( a_3 = -6 \)
• \( a_5 = -16 \)
• \( a_7 = -26 \)
• \( a_9 = -36 \)
• \( a_{11} = -46 \)
• \( a_{13} = -56 \)

Шаг 3: Вычисление суммы этих членов

Теперь находим сумму всех найденных членов:

\[ S = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 + a_{11} + a_{13} \] \[ S = 4 + (-6) + (-16) + (-26) + (-36) + (-46) + (-56) \]

Давайте посчитаем это шаг за шагом:

1. \( 4 - 6 = -2 \)
2. \( -2 - 16 = -18 \)
3. \( -18 - 26 = -44 \)
4. \( -44 - 36 = -80 \)
5. \( -80 - 46 = -126 \)
6. \( -126 - 56 = -182 \)

Ответ

Таким образом, сумма всех членов арифметической прогрессии с нечётными номерами, не превосходящими 13, равна:

\[ \boxed{-182} \]