.

Для решения задачи необходимо определить величины углов треугольника \( \triangle ARM \), где дано соотношение \(\angle A : \angle R : \angle M = 2 : 1 : 2\).

Шаги решения:

1. Определение суммы углов треугольника: В любом треугольнике сумма внутренних углов всегда равна \(180^\circ\).

2. Обозначение углов: Пусть \(\angle A = 2x\), \(\angle R = x\), и \(\angle M = 2x\), исходя из условия задачи.

3. Уравнение для суммы углов: \[ 2x + x + 2x = 180^\circ \]

4. Решение уравнения: \[ 5x = 180^\circ \] \[ x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ \]

5. Вычисление углов:

   • \(\angle A = 2x = 2 \times 36^\circ = 72^\circ\)
   • \(\angle R = x = 36^\circ\)
   • \(\angle M = 2x = 72^\circ\)

Таким образом, мы определили величины углов треугольника:

• \(\angle A = 72^\circ\)
• \(\angle R = 36^\circ\)
• \(\angle M = 72^\circ\)

Эти значения совпадают с данными на изображении, подтверждая правильность решения.