Для решения задачи давайте разберем все данные и используем их по шагам.
Дано:
- Расстояние по течению реки = 15 км
- Расстояние по озеру = 4 км
- Общее время в пути = 1 час
- Скорость течения реки = 4 км/ч
Обозначим:
- Скорость катера в стоячей воде = ( V_b ) км/ч
- Скорость катера по течению реки = ( V_b + 4 ) км/ч
- Скорость катера против течения (в случае, если бы он плыв по течению) = ( V_b - 4 ) км/ч
Шаг 1: Определим время, затраченное на каждый участок пути
Время в пути по течению реки:
[
t_1 = \frac{15}{V_b + 4}
]
Время в пути по озеру:
[
t_2 = \frac{4}{V_b}
]
Шаг 2: Составим уравнение для общего времени
Мы знаем, что общее время в пути равно 1 час, поэтому можем составить уравнение:
[
t_1 + t_2 = 1
]
Подставим выражения для ( t_1 ) и ( t_2 ):
[
\frac{15}{V_b + 4} + \frac{4}{V_b} = 1
]
Шаг 3: Умножим уравнение на ( V_b(V_b + 4) ) для избавления от дробей
[
15V_b + 4(V_b + 4) = V_b(V_b + 4)
]
Раскроем скобки:
[
15V_b + 4V_b + 16 = V_b^2 + 4V_b
]
Сложим подобные:
[
19V_b + 16 = V_b^2 + 4V_b
]
Шаг 4: Переносим все на одну сторону уравнения
[
V_b^2 + 4V_b - 19V_b - 16 = 0
]
[
V_b^2 - 15V_b - 16 = 0
]
Шаг 5: Решим квадратное уравнение
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
[
V_b = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = -15, c = -16 ).
Вычислим дискриминант:
[
D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289
]
Теперь найдем корни:
[
V_b = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{15 \pm 17}{2}
]
Находим два корня:
- ( V_b = \frac{32}{2} = 16 )
- ( V_b = \frac{-2}{2} = -1 ) (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)
Ответ
Скорость катера в стоячей воде составляет 16 км/ч.
Теперь можем найти скорость катера по течению реки:
[
V_b + 4 = 16 + 4 = 20 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость лодки по течению реки равна 20 км/ч.
