Дан ∆ABC, где угол B=90°.Внешний угол при вершине A=120°, сторона AB =7 см. Чему равна длина гипотенузы
Для решения этой задачи мы будем использовать знания о геометрии треугольников, в частности о свойствах прямоугольных и внешних углов.
Структура треугольника
У нас есть треугольник \( \Delta ABC \) с углом \( B = 90° \). Это означает, что треугольник является прямоугольным, и сторона \( AC \) будет гипотенузой.Внешний угол
Сказано, что внешний угол при вершине \( A \) равен \( 120° \). Внешний угол равен сумме двух углов, не смежных с ним. Поэтому: \[ \text{Внешний угол } A = B + C \] Подставим известные значения. У нас \( B = 90° \): \[ 120° = 90° + C \] Отсюда получаем: \[ C = 120° - 90° = 30° \]Углы треугольника
Теперь мы знаем, что угол \( C = 30° \). Поскольку сумма углов в треугольнике равна \( 180° \), можно найти угол \( A \): \[ A = 180° - B - C = 180° - 90° - 30° = 60° \]Используем стороны треугольника
Теперь у нас есть треугольник \( \Delta ABC \) с углами \( A = 60° \), \( B = 90° \), \( C = 30° \) и стороной \( AB = 7 \) см. Мы ищем длину гипотенузы \( AC \).В прямоугольном треугольнике с углом \( C = 30° \) и противолежащей стороной \( AB \), мы можем использовать соотношение: \[ \frac{AB}{AC} = \sin(C) = \sin(30°) = \frac{1}{2} \] Таким образом, используя это соотношение: \[ AC = \frac{AB}{\sin(C)} = \frac{7}{\frac{1}{2}} = 7 \times 2 = 14 \text{ см} \]
Ответ
Длина гипотенузы \( AC \) равна \( 14 \) см.
Теперь вы знаете, как находить гипотенузу, используя свойства углов и сторон треугольника! Если у вас есть вопросы или что-то осталось непонятным, не стесняйтесь спрашивать.
