F(x) =1/x2-1

Давайте разберём функцию \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \) и поймем, как она работает. ### Шаг 1: Понимание функции Функция \( f(x) \) определена как дробь, где в числителе стоит 1, а в знаменателе \( x^2 - 1 \). ### Шаг 2: Определение области определения Чтобы понять, для каких значений \( x \) функция будет определена, нужно выяснить, при каких значениях знаменатель равен нулю, поскольку деление на ноль невозможно. Решим уравнение: \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \] Таким образом, функция не определена при \( x = 1 \) и \( x = -1 \). ### Шаг 3: Область определения Из этого мы можем заключить, что область определения функции \( f(x) \) будет: \[ x \in \mathbb{R}, \quad x \neq 1, \quad x \neq -1 \] ### Шаг 4: Исследование функции Теперь давайте посмотрим, что происходит с функцией при различных значениях \( x \). - **Когда \( x > 1 \)**: \( x^2 - 1 > 0 \), поэтому \( f(x) > 0 \). - **Когда \( -1 < x < 1 \)**: \( x^2 - 1 < 0 \), поэтому \( f(x) < 0 \). - **Когда \( x < -1 \)**: \( x^2 - 1 > 0 \), поэтому \( f(x) > 0 \). ### Шаг 5: Поведение функции на графике Функция имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Это значит, что значение функции стремится к бесконечности (положительной или отрицательной) при приближении \( x \) к этим точкам. ### Шаг 6: Нахождение значений функции Теперь давайте найдем несколько значений функции для разных \( x \): - \( f(2) = \frac{1}{2^2 - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \) - \( f(0) = \frac{1}{0^2 - 1} = \frac{1}{-1} = -1 \) - \( f(-2) = \frac{1}{(-2)^2 - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3} \) ### Шаг 7: График функции На графике данная функция выглядит следующим образом: - У нее есть вертикальные асимптоты при \( x = 1 \) и \( x = -1 \). - В положении функции за пределами этих асимптот она принимает положительные значения или отрицательные значения в зависимости от того, какой интервал \( x \) вы выбрали. ### Заключение Таким образом, мы узнали, что функция \( f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} \) не определена в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \), имеет вертикальные асимптоты в этих точках и меняет знак в зависимости от значений \( x \). Надеюсь, это объяснение помогло вам понять данную функцию! Если у вас есть еще вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!