y=x^3-5x
Рассмотрим функцию \( y = x^3 - 5x \) и разберемся, что с ней можно делать.
Шаг 1: Анализ функции
Функция \( y = x^3 - 5x \) является кубической, так как старшая степень переменной \( x \) равна 3. Кубические функции могут иметь до трех корней и могут изменять направление на графике дважды.
Шаг 2: Нахождение корней функции
Чтобы найти точки, где график пересекает ось абсцисс (ось \( x \)), нужно решить уравнение:
\[ x^3 - 5x = 0 \]
Разложим многочлен на множители:
\[ x(x^2 - 5) = 0 \]
Отсюда получаем два уравнения:
- \( x = 0 \)
- \( x^2 - 5 = 0 \)
Решим второе уравнение:
\[ x^2 - 5 = 0 \]
Добавим 5 к обеим частям:
\[ x^2 = 5 \]
Возьмем квадратный корень:
\[ x = \pm \sqrt{5} \]
Итак, корни уравнения: \( x = 0 \), \( x = \sqrt{5} \), и \( x = -\sqrt{5} \).
Шаг 3: Исследование на экстремумы
Найдем производную, чтобы определить точки экстремума:
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 5x) = 3x^2 - 5 \]
Определим критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ 3x^2 - 5 = 0 \]
\[ 3x^2 = 5 \]
\[ x^2 = \frac{5}{3} \]
\[ x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \]
Теперь найдем вторую производную для определения типа экстремумов:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 5) = 6x \]
Подставим найденные критические точки в \( y'' \):
- Для \( x = \sqrt{\frac{5}{3}} \): \( y'' = 6\sqrt{\frac{5}{3}} > 0 \), значит, это минимум.
- Для \( x = -\sqrt{\frac{5}{3}} \): \( y'' = 6(-\sqrt{\frac{5}{3}}) < 0 \), значит, это максимум.
Шаг 4: График функции
На основе анализа:
- Корни: \( x = 0 \), \( x = \sqrt{5} \), \( x = -\sqrt{5} \).
- Один максимум при \( x = -\sqrt{\frac{5}{3}} \).
- Один минимум при \( x = \sqrt{\frac{5}{3}} \).
Это даст представление о том, как график функции выглядит.
Таким образом, мы детально проанализировали функцию \( y = x^3 - 5x \).
