Y=x^3-5x

Рассмотрим функцию \( y = x^3 - 5x \) и разберемся, что с ней можно делать. ### Шаг 1: Анализ функции Функция \( y = x^3 - 5x \) является кубической, так как старшая степень переменной \( x \) равна 3. Кубические функции могут иметь до трех корней и могут изменять направление на графике дважды. ### Шаг 2: Нахождение корней функции Чтобы найти точки, где график пересекает ось абсцисс (ось \( x \)), нужно решить уравнение: \[ x^3 - 5x = 0 \] Разложим многочлен на множители: \[ x(x^2 - 5) = 0 \] Отсюда получаем два уравнения: 1. \( x = 0 \) 2. \( x^2 - 5 = 0 \) Решим второе уравнение: \[ x^2 - 5 = 0 \] Добавим 5 к обеим частям: \[ x^2 = 5 \] Возьмем квадратный корень: \[ x = \pm \sqrt{5} \] Итак, корни уравнения: \( x = 0 \), \( x = \sqrt{5} \), и \( x = -\sqrt{5} \). ### Шаг 3: Исследование на экстремумы Найдем производную, чтобы определить точки экстремума: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 5x) = 3x^2 - 5 \] Определим критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 3x^2 - 5 = 0 \] \[ 3x^2 = 5 \] \[ x^2 = \frac{5}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} \] Теперь найдем вторую производную для определения типа экстремумов: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 5) = 6x \] Подставим найденные критические точки в \( y'' \): - Для \( x = \sqrt{\frac{5}{3}} \): \( y'' = 6\sqrt{\frac{5}{3}} > 0 \), значит, это минимум. - Для \( x = -\sqrt{\frac{5}{3}} \): \( y'' = 6(-\sqrt{\frac{5}{3}}) < 0 \), значит, это максимум. ### Шаг 4: График функции На основе анализа: - Корни: \( x = 0 \), \( x = \sqrt{5} \), \( x = -\sqrt{5} \). - Один максимум при \( x = -\sqrt{\frac{5}{3}} \). - Один минимум при \( x = \sqrt{\frac{5}{3}} \). Это даст представление о том, как график функции выглядит. Таким образом, мы детально проанализировали функцию \( y = x^3 - 5x \).