D(x) =√x2-1
Чтобы понять, как найти область определения функции \( D(x) = \sqrt{x^2 - 1} \), необходимо разобраться, при каких значениях \( x \) функция будет иметь смысл. Поскольку мы имеем дело с квадратным корнем, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть:
\[ x^2 - 1 \geq 0 \]
Шаг 1: Решим неравенство \( x^2 - 1 \geq 0 \)
Чтобы решить это неравенство, мы перепишем его в виде:
\[ x^2 \geq 1 \]
Шаг 2: Найдем корни уравнения
Теперь найдем равенство:
\[ x^2 - 1 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1 \]
Шаг 3: Определим интервал неравенства
Теперь нам нужно понять, при каких значениях \( x \) неравенство \( x^2 \geq 1 \) выполняется. Для этого рассмотрим три интервала:
- \( (-\infty, -1) \)
- \( [-1, 1] \)
- \( (1, \infty) \)
Теперь проверим каждый интервал.
Интервал \( (-\infty, -1) \): Возьмем, например, \( x = -2 \): \[ (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \geq 0 \quad \text{(выполняется)} \]
Интервал \( [-1, 1] \): Возьмем, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 - 1 = -1 < 0 \quad \text{(не выполняется)} \]
Интервал \( (1, \infty) \): Возьмем, например, \( x = 2 \): \[ 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \geq 0 \quad \text{(выполняется)} \]
Шаг 4: Запишем область определения
Таким образом, неравенство \( x^2 - 1 \geq 0 \) выполняется для \( x \) в интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [1, \infty) \).
Теперь запишем область определения:
\[ D(x) = (-\infty, -1] \cup [1, \infty) \]
Это и есть область определения функции \( D(x) = \sqrt{x^2 - 1} \). Функция будет определена для \( x \) в указанных интервалах, где подкоренное выражение неотрицательно.
