b=4 a=2 f(x)=x^3 Найти площадь криволинейной трапеции

Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной двумя вертикальными линиями и графиком функции, мы используем интеграл. В данном случае у нас есть следующие данные:

• Границы интегрирования: \(x = a = 2\) и \(x = b = 4\)
• Функция \(f(x) = x^3\)

Площадь под кривой \(f(x)\) от \(x = a\) до \(x = b\) вычисляется с помощью определённого интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Шаг 1: Установим интеграл

В нашем случае:

\[ S = \int_{2}^{4} x^3 \, dx \]

Шаг 2: Найдем первообразную

Первообразная функции \(f(x) = x^3\) вычисляется по формуле:

\[ F(x) = \frac{x^4}{4} + C \]

где \(C\) — произвольная константа.

Шаг 3: Вычислим определённый интеграл

Теперь подставим границы интегрирования:

\[ S = F(4) - F(2) \]

Вычисляем \(F(4)\):

\[ F(4) = \frac{4^4}{4} = \frac{256}{4} = 64 \]

Теперь вычисляем \(F(2)\):

\[ F(2) = \frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]

Шаг 4: Подставим результаты в формулу

Теперь подставляем найденные значения:

\[ S = 64 - 4 = 60 \]

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \(f(x) = x^3\) от \(x = 2\) до \(x = 4\) равна 60.

Ответ

Площадь криволинейной трапеции составляет 60 квадратных единиц.