Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной двумя вертикальными линиями и графиком функции, мы используем интеграл. В данном случае у нас есть следующие данные:
- Границы интегрирования: (x = a = 2) и (x = b = 4)
- Функция (f(x) = x^3)
Площадь под кривой (f(x)) от (x = a) до (x = b) вычисляется с помощью определённого интеграла:
[
S = \int_{a}^{b} f(x) , dx
]
Шаг 1: Установим интеграл
В нашем случае:
[
S = \int_{2}^{4} x^3 , dx
]
Шаг 2: Найдем первообразную
Первообразная функции (f(x) = x^3) вычисляется по формуле:
[
F(x) = \frac{x^4}{4} + C
]
где (C) — произвольная константа.
Шаг 3: Вычислим определённый интеграл
Теперь подставим границы интегрирования:
[
S = F(4) - F(2)
]
Вычисляем (F(4)):
[
F(4) = \frac{4^4}{4} = \frac{256}{4} = 64
]
Теперь вычисляем (F(2)):
[
F(2) = \frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4
]
Шаг 4: Подставим результаты в формулу
Теперь подставляем найденные значения:
[
S = 64 - 4 = 60
]
Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции (f(x) = x^3) от (x = 2) до (x = 4) равна 60.
Ответ
Площадь криволинейной трапеции составляет 60 квадратных единиц.
