Найди вероятность выбросить ровно 4 орла, 10 раз бросив монету

Чтобы найти вероятность выбросить ровно 4 орла при 10 бросках монеты, мы можем воспользоваться биномиальным распределением.

Шаг 1: Определение параметров

1. Количество бросков (n): 10
2. Количество успешных исходов (k): 4 (это орлы)
3. Вероятность успеха (p): 0.5 (вероятность получить орла при каждом броске монеты)
4. Вероятность неуспеха (q): 1 - p = 0.5 (вероятность получить решку)

Шаг 2: Формула биномиального распределения

Вероятность получения ровно k успехов в n независимых испытаниях можно вычислить по формуле:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \(C(n, k)\) — количество сочетаний, которое рассчитывается по формуле:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]

Шаг 3: Подставляем значения

• Подставим наши параметры:

1. \(n = 10\)
2. \(k = 4\)
3. \(p = 0.5\)
4. \(q = 0.5\)

Теперь найдем \(C(10, 4)\):

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} \]

Вычислим \(10!\), \(4!\) и \(6!\)

• \(10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!\)
• \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
• \(6! = 720\)

Теперь подставим в формулу сочетаний:

\[ C(10, 4) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{5040}{24} = 210 \]

Шаг 4: Подставляем в формулу вероятности

Теперь мы можем найти вероятность:

\[ P(X = 4) = C(10, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{10-4} \]

Это можно упростить:

\[ = 210 \cdot (0.5)^{4} \cdot (0.5)^{6} = 210 \cdot (0.5)^{10} \]

\[ = 210 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{210}{1024} \]

Шаг 5: Упрощение дроби

Теперь упростим дробь:

\[ \frac{210}{1024} = \frac{105}{512} \quad (\text{разделили числитель и знаменатель на 2}) \]

Итог

Вероятность выбросить ровно 4 орла при 10 бросках монеты составляет \(\frac{105}{512}\) или примерно 0.2051 (около 20.51%).

Если у вас есть вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!