СА=15 см, СВ=36 см, АВ=39 см. Найди синус угла А и площадь треугольника АВС. (в ответе дробь сократи до несокрушимого вида!)
Давайте решим задачу о нахождении синуса угла А и площади треугольника ABC, используя данные о длинах сторон треугольника.
Дано:
- Сторона СА = 15 см
- Сторона СВ = 36 см
- Сторона АВ = 39 см
Шаг 1: Находим синус угла A
Для нахождения синуса угла A можно использовать формулу
\[ \sin A = \frac{a}{c} \]
где:
- \( a \) — длина противолежащей стороны (СВ = 36 см),
- \( c \) — длина стороны напротив угла A (АВ = 39 см).
Сначала необходимо найти длину стороны AB, которая является гипотенузой, и высчитывается по теореме косинусов, но поскольку нам известны длины всех сторон, можно сразу перейти к нахождению косинуса:
Сначала применим теорему косинусов для угла \(A\):
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos A \]
где:
- \( c = AB = 39 \, \text{см} \),
- \( a = AC = 15 \, \text{см} \),
- \( b = BC = 36 \, \text{см} \).
Подставляем значения:
\[ 39^2 = 15^2 + 36^2 - 2 \cdot 15 \cdot 36 \cdot \cos A \]
Посчитаем каждую часть:
\[ 1521 = 225 + 1296 - 1080 \cdot \cos A \] \[ 1521 = 1521 - 1080 \cdot \cos A \]
Теперь после упрощения у нас получится:
\[ 0 = - 1080 \cdot \cos A \quad \Rightarrow \quad \cos A = 0 \]
Таким образом, это значит, что \(A = 90^\circ\), следовательно:
\[ \sin A = 1 \]
Шаг 2: Находим площадь треугольника ABC
Площадь треугольника можно найди по формуле:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \]
где:
- \( a = AC = 15 \, \text{см} \),
- \( b = BC = 36 \, \text{см} \),
- \( \sin C = \sin A = 1 \).
Подставим известные значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36 \cdot 1 \]
Вычисляем:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 540 = 270 \, \text{см}^2 \]
Ответы:
- Синус угла A: \(\sin A = 1\).
- Площадь треугольника ABC: \(S = 270 \, \text{см}^2\).
