Давайте решим задачу о нахождении синуса угла А и площади треугольника ABC, используя данные о длинах сторон треугольника.
Дано:
- Сторона СА = 15 см
- Сторона СВ = 36 см
- Сторона АВ = 39 см
Шаг 1: Находим синус угла A
Для нахождения синуса угла A можно использовать формулу
[
\sin A = \frac{a}{c}
]
где:
- ( a ) — длина противолежащей стороны (СВ = 36 см),
- ( c ) — длина стороны напротив угла A (АВ = 39 см).
Сначала необходимо найти длину стороны AB, которая является гипотенузой, и высчитывается по теореме косинусов, но поскольку нам известны длины всех сторон, можно сразу перейти к нахождению косинуса:
Сначала применим теорему косинусов для угла (A):
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos A
]
где:
- ( c = AB = 39 , \text{см} ),
- ( a = AC = 15 , \text{см} ),
- ( b = BC = 36 , \text{см} ).
Подставляем значения:
[
39^2 = 15^2 + 36^2 - 2 \cdot 15 \cdot 36 \cdot \cos A
]
Посчитаем каждую часть:
[
1521 = 225 + 1296 - 1080 \cdot \cos A
]
[
1521 = 1521 - 1080 \cdot \cos A
]
Теперь после упрощения у нас получится:
[
0 = - 1080 \cdot \cos A \quad \Rightarrow \quad \cos A = 0
]
Таким образом, это значит, что (A = 90^\circ), следовательно:
[
\sin A = 1
]
Шаг 2: Находим площадь треугольника ABC
Площадь треугольника можно найди по формуле:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C
]
где:
- ( a = AC = 15 , \text{см} ),
- ( b = BC = 36 , \text{см} ),
- ( \sin C = \sin A = 1 ).
Подставим известные значения:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 36 \cdot 1
]
Вычисляем:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 540 = 270 , \text{см}^2
]
Ответы:
- Синус угла A: (\sin A = 1).
- Площадь треугольника ABC: (S = 270 , \text{см}^2).
