Для решения данной задачи мы обратимся к понятию арифметической прогрессии. В этой задаче нам дана информация о покраске забора длиной 240 метров, а также о том, что за первый и последний день в сумме было покрашено 60 метров.
Шаг 1: Обозначим переменные
Пусть:
- ( d ) — количество метров, которое бригада маляров покрашивает в первый день.
- ( n ) — количество дней, в течение которых бригада красила забор.
- ( a_n ) — количество метров, покрашенных в последний день.
Поскольку за каждый последующий день бригада увеличивает норму покраски на одно и то же число метров, мы можем записать:
- ( a_n = d + (n-1) \cdot k ), где ( k ) — прибавляемое количество метров за каждый день.
Следовательно, по условию задачи у нас есть два утверждения:
- В первый день: ( a_1 = d ).
- В последний день: ( a_n = d + (n-1)k ).
Сумма метров, покрашенных в первый и последний день, равна 60:
[
d + a_n = 60
]
Подставим ( a_n ):
[
d + (d + (n-1)k) = 60
]
Это упростится в:
[
2d + (n-1)k = 60 \quad (1)
]
Шаг 2: Сумма прогрессии
Сумма покрашенного забора за все дни в арифметической прогрессии определяется по формуле:
[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (d + (d + (n-1)k)) = \frac{n}{2} \cdot (2d + (n-1)k)
]
Согласно условию, сумма покрашенного забора равна 240:
[
240 = \frac{n}{2} \cdot (2d + (n-1)k) \quad (2)
]
Шаг 3: Систему уравнений
Теперь у нас есть две системы уравнений:
- Из уравнения (1):
[
2d + (n-1)k = 60
]
- Из уравнения (2):
[
n(2d + (n-1)k) = 480
]
Шаг 4: Решение системы
Теперь можем решить систему из двух уравнений. Из (1) выразим ( (n-1)k ):
[
(n-1)k = 60 - 2d
]
Теперь подставим это в (2):
[
n(2d + 60 - 2d) = 480
]
Упрощая, получаем:
[
n \cdot 60 = 480
]
[
n = \frac{480}{60} = 8
]
Шаг 5: Найдем d и k
Подставим ( n = 8 ) обратно в уравнение (1):
[
2d + (8 - 1)k = 60
]
Это упрощается в:
[
2d + 7k = 60 \quad (3)
]
Теперь подставим ( n = 8 ) в (2):
[
8(2d + 7k) = 480
]
Поделим обе стороны на 8:
[
2d + 7k = 60
]
Мы видим, что это то же самое уравнение (3). У нас недостаточно информации для нахождения уникальных значений ( d ) и ( k ), но можем подставить значения ( k ).
Итог
Теперь мы знаем, что бригада маляров красила забор 8 дней. Каждый день они увеличивали норму, но конкретные значения для ( d ) и ( k ) могут варьироваться.
Таким образом, ответ на вопрос:
Бригада маляров красила забора 8 дней.
