Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада…

Для решения данной задачи мы обратимся к понятию арифметической прогрессии. В этой задаче нам дана информация о покраске забора длиной 240 метров, а также о том, что за первый и последний день в сумме было покрашено 60 метров.

Шаг 1: Обозначим переменные

Пусть:

• \( d \) — количество метров, которое бригада маляров покрашивает в первый день.
• \( n \) — количество дней, в течение которых бригада красила забор.
• \( a_n \) — количество метров, покрашенных в последний день.

Поскольку за каждый последующий день бригада увеличивает норму покраски на одно и то же число метров, мы можем записать:

• \( a_n = d + (n-1) \cdot k \), где \( k \) — прибавляемое количество метров за каждый день.

Следовательно, по условию задачи у нас есть два утверждения:

1. В первый день: \( a_1 = d \).
2. В последний день: \( a_n = d + (n-1)k \).

Сумма метров, покрашенных в первый и последний день, равна 60: \[ d + a_n = 60 \] Подставим \( a_n \): \[ d + (d + (n-1)k) = 60 \] Это упростится в: \[ 2d + (n-1)k = 60 \quad (1) \]

Шаг 2: Сумма прогрессии

Сумма покрашенного забора за все дни в арифметической прогрессии определяется по формуле: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (d + (d + (n-1)k)) = \frac{n}{2} \cdot (2d + (n-1)k) \] Согласно условию, сумма покрашенного забора равна 240: \[ 240 = \frac{n}{2} \cdot (2d + (n-1)k) \quad (2) \]

Шаг 3: Систему уравнений

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• Из уравнения (1): \[ 2d + (n-1)k = 60 \]
• Из уравнения (2): \[ n(2d + (n-1)k) = 480 \]

Шаг 4: Решение системы

Теперь можем решить систему из двух уравнений. Из (1) выразим \( (n-1)k \): \[ (n-1)k = 60 - 2d \]

Теперь подставим это в (2): \[ n(2d + 60 - 2d) = 480 \] Упрощая, получаем: \[ n \cdot 60 = 480 \] \[ n = \frac{480}{60} = 8 \]

Шаг 5: Найдем d и k

Подставим \( n = 8 \) обратно в уравнение (1): \[ 2d + (8 - 1)k = 60 \] Это упрощается в: \[ 2d + 7k = 60 \quad (3) \]

Теперь подставим \( n = 8 \) в (2): \[ 8(2d + 7k) = 480 \] Поделим обе стороны на 8: \[ 2d + 7k = 60 \] Мы видим, что это то же самое уравнение (3). У нас недостаточно информации для нахождения уникальных значений \( d \) и \( k \), но можем подставить значения \( k \).

Итог

Теперь мы знаем, что бригада маляров красила забор 8 дней. Каждый день они увеличивали норму, но конкретные значения для \( d \) и \( k \) могут варьироваться.

Таким образом, ответ на вопрос: Бригада маляров красила забора 8 дней.