Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой, в частности, комбинациями. Комбинация — это способ выбрать элементы из заданного множества без учета порядка.
Шаг 1: Выбор троих учеников из математического класса.
В математическом классе учится 21 ребенок. Нам нужно выбрать 3 из них.
Формула для вычисления количества комбинаций (C) выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- (n) — общее количество элементов (в нашем случае 21),
- (k) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 3),
- (n!) — факториал числа (n), то есть произведение всех положительных целых чисел от 1 до (n).
Подставим наши значения:
[
C(21, 3) = \frac{21!}{3!(21-3)!} = \frac{21!}{3! \cdot 18!}
]
Так как (21! = 21 \times 20 \times 19 \times 18!), мы можем упростить:
[
C(21, 3) = \frac{21 \times 20 \times 19}{3!} = \frac{21 \times 20 \times 19}{6}
]
Теперь вычислим:
Вычислим числитель:
(21 \times 20 \times 19 = 7980)
Вычислим знаменатель:
(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6)
Теперь найдем результат:
[
C(21, 3) = \frac{7980}{6} = 1330
]
Итак, количество способов выбрать троих учеников в математическом классе:
Количество способов выбрать троих учеников в математическом классе: 1330
Шаг 2: Выбор пятерых учеников из филологического класса.
В филологическом классе учится 13 детей. Нам нужно выбрать 5 из них.
Используем ту же формулу для комбинаций:
[
C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!}
]
Упрощаем, учитывая (13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!):
[
C(13, 5) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{120}
]
Теперь вычислим:
Вычислим числитель:
(13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 154440)
Вычислим знаменатель:
(5! = 120)
Найдем результат:
[
C(13, 5) = \frac{154440}{120} = 1287
]
Итак, количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе:
Количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе: 1287
Шаг 3: Рассчитаем общее количество комбинаций.
Чтобы найти общее количество способов выбрать троих учеников из математического класса и пятерых учеников из филологического класса, умножим полученные результаты:
[
Общее количество = C(21, 3) \times C(13, 5) = 1330 \times 1287
]
Выполним умножение:
[
Общее количество = 1330 \times 1287 = 1713510
]
Ответ:
- Количество способов выбрать троих учеников в математическом классе: 1330
- Количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе: 1287
- Всего комбинаций: 1713510
