В математическом классе учится 21 21 ребёнок, а в филологическом — 13 13 детей. Для участия в олимпиадах нужно выбрать троих учеников математического класса и пятерых учеников…
В математическом классе учится 21 21 ребёнок, а в филологическом — 13 13 детей. Для участия в олимпиадах нужно выбрать троих учеников математического класса и пятерых учеников филологического класса. Сколькими способами можно это сделать? Запиши числа в полях ответа. Количество способов выбрать троих учеников в математическом классе: Количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе: Всего комбинаций:
Для решения этой задачи воспользуемся комбинаторикой, в частности, комбинациями. Комбинация — это способ выбрать элементы из заданного множества без учета порядка.
Шаг 1: Выбор троих учеников из математического класса.
В математическом классе учится 21 ребенок. Нам нужно выбрать 3 из них.
Формула для вычисления количества комбинаций (C) выглядит следующим образом:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \(n\) — общее количество элементов (в нашем случае 21),
- \(k\) — количество выбираемых элементов (в нашем случае 3),
- \(n!\) — факториал числа \(n\), то есть произведение всех положительных целых чисел от 1 до \(n\).
Подставим наши значения:
\[ C(21, 3) = \frac{21!}{3!(21-3)!} = \frac{21!}{3! \cdot 18!} \]
Так как \(21! = 21 \times 20 \times 19 \times 18!\), мы можем упростить:
\[ C(21, 3) = \frac{21 \times 20 \times 19}{3!} = \frac{21 \times 20 \times 19}{6} \]
Теперь вычислим:
Вычислим числитель:
\(21 \times 20 \times 19 = 7980\)
Вычислим знаменатель:
\(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
Теперь найдем результат:
\[ C(21, 3) = \frac{7980}{6} = 1330 \]
Итак, количество способов выбрать троих учеников в математическом классе:
Количество способов выбрать троих учеников в математическом классе: 1330
Шаг 2: Выбор пятерых учеников из филологического класса.
В филологическом классе учится 13 детей. Нам нужно выбрать 5 из них.
Используем ту же формулу для комбинаций:
\[ C(13, 5) = \frac{13!}{5!(13-5)!} = \frac{13!}{5! \cdot 8!} \]
Упрощаем, учитывая \(13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!\):
\[ C(13, 5) = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{5!} = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9}{120} \]
Теперь вычислим:
Вычислим числитель:
\(13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 = 154440\)
Вычислим знаменатель:
\(5! = 120\)
Найдем результат:
\[ C(13, 5) = \frac{154440}{120} = 1287 \]
Итак, количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе:
Количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе: 1287
Шаг 3: Рассчитаем общее количество комбинаций.
Чтобы найти общее количество способов выбрать троих учеников из математического класса и пятерых учеников из филологического класса, умножим полученные результаты:
\[ Общее количество = C(21, 3) \times C(13, 5) = 1330 \times 1287 \]
Выполним умножение:
\[ Общее количество = 1330 \times 1287 = 1713510 \]
Ответ:
- Количество способов выбрать троих учеников в математическом классе: 1330
- Количество способов выбрать пятерых учеников в филологическом классе: 1287
- Всего комбинаций: 1713510
