Для решения задачи нам нужно использовать зависимость между сопротивлением провода, его длиной, площадью поперечного сечения и материалом провода. Формула для расчета сопротивления выглядит так:
[
R = \frac{\rho \cdot L}{S}
]
где:
- ( R ) — сопротивление (Ом),
- ( \rho ) — удельное сопротивление материала (Ом·м),
- ( L ) — длина провода (м),
- ( S ) — площадь поперечного сечения провода (м²).
Определение удельного сопротивления алюминия:
Удельное сопротивление алюминия (( \rho )) составляет примерно ( 2.65 \times 10^{-8} , \text{Ом·м} ).
Записание формулы:
Из формулы сопротивления можно выразить ( L ) через ( S ):
[
L = \frac{R \cdot S}{\rho}
]
- Определение массы проволоки:
Мы знаем массу проволоки (( m = 0.5 , \text{кг} )). Теперь используем связь между массой, плотностью и объемом:
[
m = \rho_{ал} \cdot V
]
где:
- ( \rho_{ал} ) — плотность алюминия (примерно ( 2700 , \text{кг/м}^3 )),
- ( V ) — объем провода (( V = S \cdot L )).
Подставляем в формулу для массы:
[
m = \rho_{ал} \cdot S \cdot L
]
Так как у нас есть две формулы для ( L ), подставим первую формулу во вторую:
[
m = \rho_{ал} \cdot S \cdot \frac{R \cdot S}{\rho}
]
После упрощения получим:
[
m = \frac{\rho_{ал} \cdot R \cdot S^2}{\rho}
]
Теперь выразим ( S^2 ):
[
S^2 = \frac{m \cdot \rho}{\rho_{ал} \cdot R}
]
- Подстановка значений:
Подставляем известные данные:
- ( m = 0.5 , \text{кг} )
- ( R = 10 , \text{Ом} )
- ( \rho_{ал} = 2700 , \text{кг/м}^3 )
- ( \rho = 2.65 \times 10^{-8} , \text{Ом·м} )
Подставляем в формулу:
[
S^2 = \frac{0.5 , \text{кг} \cdot 2.65 \times 10^{-8} , \text{Ом·м}}{2700 , \text{кг/м}^3 \cdot 10 , \text{Ом}}
]
Считаем:
[
S^2 = \frac{0.5 \cdot 2.65 \times 10^{-8}}{27000} = \frac{1.325 \times 10^{-8}}{27000} \approx 4.907 \times 10^{-13} , \text{м}^2
]
Теперь найдем ( S ):
[
S \approx \sqrt{4.907 \times 10^{-13}} \approx 2.21 \times 10^{-7} , \text{м}^2
]
- Перевод площади в мм²:
Чтобы получить площадь в мм², умножаем на ( 10^6 ):
[
S \approx 2.21 \times 10^{-7} , \text{м}^2 \times 10^6 = 0.221 , \text{мм}^2
]
- Определение длины проволоки:
Теперь, зная ( S ), можем найти ( L ):
[
L = \frac{R \cdot S}{\rho} = \frac{10 \cdot 2.21 \times 10^{-7}}{2.65 \times 10^{-8}} \approx 83.55 , \text{м}
]
- Округление ответов:
- Длина проволоки ( L \approx 83.55 , \text{м} ).
- Площадь поперечного сечения ( S \approx 0.2210 , \text{мм}^2 ) (округляем до десяти тысячных).
Ответ:
- Длина проволоки: 83.55 м
- Площадь поперечного сечения: 0.2210 мм²
