найти координаты точек пересечения функции с осями координат y=-x²+5x-1 y=5x²-7x+2

Чтобы найти координаты точек пересечения функций \( y = -x^2 + 5x - 1 \) и \( y = 5x^2 - 7x + 2 \) с осями координат, нужно выполнить несколько шагов.

1. Пересечение с осью Y

Для нахождения точки пересечения функции с осью Y, необходимо подставить значение \( x = 0 \) в уравнения функций.

Функция 1: \( y = -x^2 + 5x - 1 \)

\[ y = -0^2 + 5 \cdot 0 - 1 = -1 \] Точка пересечения: \( (0, -1) \)

Функция 2: \( y = 5x^2 - 7x + 2 \)

\[ y = 5 \cdot 0^2 - 7 \cdot 0 + 2 = 2 \] Точка пересечения: \( (0, 2) \)

2. Пересечение с осью X

Для нахождения точек пересечения функций с осью X, необходимо решить уравнения, приравняв каждую функцию к нулю.

Функция 1: \( -x^2 + 5x - 1 = 0 \)

Умножим на -1, чтобы упростить решение: \[ x^2 - 5x + 1 = 0 \] Для решения этого квадратного уравнения используем формулу корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1, b = -5, c = 1 \): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{21}}{2} \] Поскольку \( \sqrt{21} \approx 4.58 \), у нас есть два корня: \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{21}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{21}}{2} \] Теперь подставим значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в уравнение: Таким образом, точки пересечения с осью X:

• \( \left( \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, 0 \right) \)
• \( \left( \frac{5 - \sqrt{21}}{2}, 0 \right) \)

Функция 2: \( 5x^2 - 7x + 2 = 0 \)

Используем формулу корней аналогично: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 5, b = -7, c = 2 \): \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{10} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{10} = \frac{7 \pm 3}{10} \] У нас два корня: \[ x_1 = \frac{10}{10} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4}{10} = 0.4 \] Таким образом, точки пересечения с осью X:

• \( (1, 0) \)
• \( (0.4, 0) \)

Итоговые точки пересечения:

• Для функции \( y = -x^2 + 5x - 1 \):

  • С осью Y: \( (0, -1) \)
  • С осью X: \( \left( \frac{5 + \sqrt{21}}{2}, 0 \right) \) и \( \left( \frac{5 - \sqrt{21}}{2}, 0 \right) \)

• Для функции \( y = 5x^2 - 7x + 2 \):

  • С осью Y: \( (0, 2) \)
  • С осью X: \( (1, 0) \) и \( (0.4, 0) \)

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как находить точки пересечения функций с осями координат!