Определи значение переменной K при котором разность дробей 1/k - 2 и 5/ к +2 равна их произведению

Решим задачу, где необходимо найти значение переменной \( K \), при котором разность дробей \( \frac{1}{K} - 2 \) и \( \frac{5}{K} + 2 \) равна их произведению. Начнем с формулировки уравнения. Нам нужно решить следующее уравнение: \[ \frac{1}{K} - 2 = \left( \frac{1}{K} - 2 \right) \cdot \left( \frac{5}{K} + 2 \right) \] 1. **Перепишем обе части уравнения:** Левая часть: \[ \frac{1}{K} - 2 \] Правая часть: сначала найдем произведение дробей. \[ \left( \frac{1}{K} - 2 \right) \cdot \left( \frac{5}{K} + 2 \right) \] 2. **Выполним умножение в правой части:** \[ = \frac{1 \cdot 5}{K^2} + 2 \cdot \frac{1}{K} - 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \] \[ = \frac{5}{K^2} + \frac{2}{K} - 10 - 4 \] \[ = \frac{5}{K^2} + \frac{2}{K} - 14 \] Таким образом, у нас есть уравнение: \[ \frac{1}{K} - 2 = \frac{5}{K^2} + \frac{2}{K} - 14 \] 3. **Приведем обе части уравнения к одному общему знаменателю \( K^2 \):** Левая часть: \[ \frac{K - 2K^2}{K^2} = \frac{K - 2K^2}{K^2} \] Правая часть: \[ \frac{5 + 2K - 14K^2}{K^2} = \frac{5 + 2K - 14K^2}{K^2} \] Теперь приравняем числители: \[ K - 2K^2 = 5 + 2K - 14K^2 \] 4. **Упрощаем уравнение:** Переносим все на одну сторону: \[ -2K^2 + 14K^2 - 2K - 5 = 0 \] \[ 12K^2 - 2K - 5 = 0 \] 5. **Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:** У нас есть уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 12 \), \( b = -2 \), \( c = -5 \). Формула для нахождения корней выглядит так: \[ K = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] 6. **Подставляем наши значения:** Вычисляем дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 4 + 240 = 244 \] Теперь можем найти корни: \[ K = \frac{2 \pm \sqrt{244}}{24} \] \[ = \frac{2 \pm 2\sqrt{61}}{24} \] \[ = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{12} \] Таким образом, значения переменной \( K \) будут: \[ K_1 = \frac{1 + \sqrt{61}}{12}, \quad K_2 = \frac{1 - \sqrt{61}}{12} \] Это окончательные значения переменной \( K \).