Определи значение переменной K при котором разность дробей 1/k - 2 и 5/ к +2 равна их произведению
Решим задачу, где необходимо найти значение переменной \( K \), при котором разность дробей \( \frac{1}{K} - 2 \) и \( \frac{5}{K} + 2 \) равна их произведению. Начнем с формулировки уравнения.
Нам нужно решить следующее уравнение:
\[ \frac{1}{K} - 2 = \left( \frac{1}{K} - 2 \right) \cdot \left( \frac{5}{K} + 2 \right) \]
- Перепишем обе части уравнения:
Левая часть:
\[ \frac{1}{K} - 2 \]
Правая часть: сначала найдем произведение дробей.
\[ \left( \frac{1}{K} - 2 \right) \cdot \left( \frac{5}{K} + 2 \right) \]
- Выполним умножение в правой части:
\[ = \frac{1 \cdot 5}{K^2} + 2 \cdot \frac{1}{K} - 2 \cdot 5 - 2 \cdot 2 \] \[ = \frac{5}{K^2} + \frac{2}{K} - 10 - 4 \] \[ = \frac{5}{K^2} + \frac{2}{K} - 14 \]
Таким образом, у нас есть уравнение:
\[ \frac{1}{K} - 2 = \frac{5}{K^2} + \frac{2}{K} - 14 \]
- Приведем обе части уравнения к одному общему знаменателю \( K^2 \):
Левая часть:
\[ \frac{K - 2K^2}{K^2} = \frac{K - 2K^2}{K^2} \]
Правая часть:
\[ \frac{5 + 2K - 14K^2}{K^2} = \frac{5 + 2K - 14K^2}{K^2} \]
Теперь приравняем числители:
\[ K - 2K^2 = 5 + 2K - 14K^2 \]
- Упрощаем уравнение:
Переносим все на одну сторону:
\[ -2K^2 + 14K^2 - 2K - 5 = 0 \] \[ 12K^2 - 2K - 5 = 0 \]
- Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
У нас есть уравнение вида \( ax^2 + bx + c = 0 \), где \( a = 12 \), \( b = -2 \), \( c = -5 \).
Формула для нахождения корней выглядит так:
\[ K = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
- Подставляем наши значения:
Вычисляем дискриминант:
\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-5) = 4 + 240 = 244 \]
Теперь можем найти корни:
\[ K = \frac{2 \pm \sqrt{244}}{24} \] \[ = \frac{2 \pm 2\sqrt{61}}{24} \] \[ = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{12} \]
Таким образом, значения переменной \( K \) будут:
\[ K_1 = \frac{1 + \sqrt{61}}{12}, \quad K_2 = \frac{1 - \sqrt{61}}{12} \]
Это окончательные значения переменной \( K \).
