Чтобы найти скорость пружинного маятника в данной точке, будем использовать закон сохранения механической энергии для гармонических колебаний. Поскольку колебания происходят без трения и других внешних воздействий, полная механическая энергия в системе сохраняется.
Определение параметров:
- Жесткость пружины: ( k = 100 , \text{Н/м} )
- Масса маятника: ( m = 500 , \text{г} = 0.5 , \text{кг} )
- Амплитуда колебаний: ( A = 90 , \text{см} = 0.9 , \text{м} )
- Координата точки, где нужно найти скорость: ( x = 80 , \text{см} = 0.8 , \text{м} )
Рассмотрим полную механическую энергию (Э):
Энергия в пружинном маятнике состоит из потенциальной энергии пружины и кинетической энергии маятника. В максимальной амплитуде (при ( x = A )) вся энергия является потенциальной:
[
E = \frac{1}{2} k A^2
]
Подставим значения:
[
E = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0.9)^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0.81 = 40.5 , \text{Дж}
]
- Потенциальная энергия в точке ( x ):
Теперь рассчитаем потенциальную энергию в точке ( x = 0.8 , \text{м} ):
[
E_p = \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (0.8)^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 0.64 = 32 , \text{Дж}
]
- Кинетическая энергия в точке ( x ):
Согласно закону сохранения энергии, полная энергия системы остается постоянной. Таким образом, кинетическая энергия ( E_k ) в точке ( x = 0.8 , \text{м} ) будет:
[
E_k = E - E_p = 40.5 , \text{Дж} - 32 , \text{Дж} = 8.5 , \text{Дж}
]
- Найдём скорость маятника:
Кинетическая энергия определяется как:
[
E_k = \frac{1}{2} m v^2
]
Отсюда можно выразить скорость ( v ):
[
v = \sqrt{\frac{2 E_k}{m}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 8.5}{0.5}} = \sqrt{34} \approx 5.831 , \text{м/с}
]
- Округление результата:
Округляя до десятых, получаем:
[
v \approx 5.8 , \text{м/с}
]
Ответ: 5.8 м/с.
