Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под угром 45 градусов . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, выполните следующие шаги:

1. Определите основные параметры пирамиды:

   • Сторона основания \(a = 6\) см.
   • Угол наклона бокового ребра к плоскости основания \(\alpha = 45^\circ\).

2. Найдите высоту боковой грани (апофему):

   • В правильной четырехугольной пирамиде высота \(h\) опускается из вершины пирамиды в центр квадрата основания.
   • Апофема (высота боковой грани) — это высота треугольника, образующего боковую грань. Обозначим её \(l\).

3. Используйте тригонометрические соотношения:

   • Поскольку боковое ребро наклонено под углом \(45^\circ\), для гипотенузы треугольника, образующего боковую грань, можно применить соотношения: \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{l_1} \] где \(l_1\) — боковое ребро.
   • Поскольку \(\tan(45^\circ) = 1\), то \(h = l_1\).

4. Найдите высоту пирамиды \(h\):

   • Для этого используем половину диагонали основания в составе прямоугольного треугольника: \[ \text{Диагональ = } a \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \]
   • Половина диагонали: \[ \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \]

5. Апофема \(l\): \[ l = \frac{l_1}{\cos(45^\circ)} = \frac{l_1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = l_1 \sqrt{2} \] \[ l = \sqrt{2} \cdot h = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \times 2 = 6 \]

6. Площадь боковой поверхности:

   • Площадь боковой поверхности пирамиды составляет сумму площадей четырех равных треугольников: \[ S = 4 \times \frac{1}{2} \times a \times l = 2 \times 6 \times 6 = 72 \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет \(72 \, \text{см}^2\).