Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под угром 45 градусов . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Чтобы найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды, выполните следующие шаги: 1. **Определите основные параметры пирамиды:** - Сторона основания \(a = 6\) см. - Угол наклона бокового ребра к плоскости основания \(\alpha = 45^\circ\). 2. **Найдите высоту боковой грани (апофему):** - В правильной четырехугольной пирамиде высота \(h\) опускается из вершины пирамиды в центр квадрата основания. - Апофема (высота боковой грани) — это высота треугольника, образующего боковую грань. Обозначим её \(l\). 3. **Используйте тригонометрические соотношения:** - Поскольку боковое ребро наклонено под углом \(45^\circ\), для гипотенузы треугольника, образующего боковую грань, можно применить соотношения: \[ \tan(45^\circ) = \frac{h}{l_1} \] где \(l_1\) — боковое ребро. - Поскольку \(\tan(45^\circ) = 1\), то \(h = l_1\). 4. **Найдите высоту пирамиды \(h\):** - Для этого используем половину диагонали основания в составе прямоугольного треугольника: \[ \text{Диагональ = } a \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \] - Половина диагонали: \[ \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \] 5. **Апофема \(l\):** \[ l = \frac{l_1}{\cos(45^\circ)} = \frac{l_1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = l_1 \sqrt{2} \] \[ l = \sqrt{2} \cdot h = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3 \times 2 = 6 \] 6. **Площадь боковой поверхности:** - Площадь боковой поверхности пирамиды составляет сумму площадей четырех равных треугольников: \[ S = 4 \times \frac{1}{2} \times a \times l = 2 \times 6 \times 6 = 72 \text{ см}^2 \] Таким образом, **площадь боковой поверхности пирамиды** составляет \(72 \, \text{см}^2\).