Дана правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 4 см боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом в 45° найти объем

Для решения задачи о нахождении объема правильной четырехугольной пирамиды, давайте пройдемся по этапам с объяснениями.

1. Параметры пирамиды

У нас есть правильная четырехугольная пирамида, у которой:

• Сторона основания (квадрат) \(a = 4 \, \text{см}\)
• Угол наклона бокового ребра к плоскости основания \(\alpha = 45^\circ\)

2. Формула объема пирамиды

Объем \(V\) пирамиды можно найти по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_b \cdot h \] где:

• \(S_b\) — площадь основания
• \(h\) — высота пирамиды

3. Площадь основания

Площадь основания \(S_b\) для квадрата вычисляется по формуле: \[ S_b = a^2 = (4)^2 = 16 \, \text{см}^2 \]

4. Нахождение высоты пирамиды

Теперь нам нужно определить высоту \(h\) пирамиды. Зная угол наклона бокового ребра, можем использовать тригонометрию.

Боковое ребро образует угол \(45^\circ\) с вертикальной высотой \(h\) и горизонтальным расстоянием от вершины основания до высоты (это будет половина длины диагонали основания).

4.1. Нахождение длины бокового ребра

Сначала найдем длину бокового ребра \(l\). Если \(h\) — высота, то из прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной стороны основания и боковым ребром, можно выразить через:

\[ \sin(\alpha) = \frac{h}{l} \] Так как угол \(\alpha = 45^\circ\), то \(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Мы также знаем, что половина длины диагонали квадрата \( \frac{d}{2} \) (где \(d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\)): \[ \frac{d}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см} \]

Теперь мы можем записать: \[ \sin(45^\circ) = \frac{h}{l} \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{l} \] \[ l = h \sqrt{2} \]

4.2. Нахождение высоты через боковое ребро

Мы знаем, что образуется треугольник, где: \[ h^2 + (2\sqrt{2})^2 = l^2 \] Подставим \(l = h\sqrt{2}\): \[ h^2 + 8 = 2h^2 \] \[ 8 = 2h^2 - h^2 \rightarrow h^2 = 8 \rightarrow h = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{см} \]

5. Объем пирамиды

Теперь подставим все найденные значения в формулу объема: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{2} = \frac{32\sqrt{2}}{3} \, \text{см}^3 \]

Ответ

Объем правильной четырехугольной пирамиды составляет: \[ V = \frac{32\sqrt{2}}{3} \, \text{см}^3 \]