В прямоугольном треугольнике M N K MNK ∠ N = 90 ° ∠N=90° , ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы M K MK , если M K + N K = 24 , 78 MK+NK=24,78 мм?
Давайте решим задачу, связанную с прямоугольным треугольником \( \triangle MNK \), где \( \angle N = 90^\circ \) и \( \angle K = 60^\circ \).
Шаг 1: Найти угол \( M \)
В прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна \( 180^\circ \). У нас известно, что:
- \( \angle N = 90^\circ \)
- \( \angle K = 60^\circ \)
Чтобы найти угол \( M \), используем формулу: \[ \angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K \] Подставим известные значения: \[ \angle M = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \]
Шаг 2: Использовать свойства треугольника
Теперь, когда мы знаем все углы, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. У нас есть следующая информация:
- \( MK + NK = 24.78 \) мм
Назовем:
- \( MK = c \) (гипотенуза)
- \( NK = b \) (противоположная сторона угла \( K \))
- \( MN = a \) (прилежащая сторона угла \( K \))
Шаг 3: Найти соотношения между сторонами
В прямоугольном треугольнике с углом \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \) выполняются следующие соотношения: \[ \frac{b}{c} = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies b = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \frac{a}{c} = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \implies a = c \cdot \frac{1}{2} \]
Шаг 4: Подставить в условие задачи
Теперь подставим выражения для \( a \) и \( b \) в уравнение: \[ c + b = 24.78 \] Подставим \( b = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24.78 \] Соберем \( c \): \[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 24.78 \] Теперь вычислим \( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1 + 0.866 = 1.866 \quad (\text{где } \sqrt{3} \approx 1.732) \] Подставим это значение: \[ c \cdot 1.866 = 24.78 \] Теперь найдем \( c \): \[ c = \frac{24.78}{1.866} \approx 13.26 \text{ мм} \]
Ответ
Численное значение гипотенузы \( MK \) равно примерно 13.26 мм.
