В прямоугольном треугольнике  M N K MNK  ∠ N = 90 ° ∠N=90°,  ∠ K = 6 0 ∘ ∠K=60 ∘ . Чему равно численное значение гипотенузы  M K MK, если  M K + N K = 24 , 78 MK+NK=24,78 мм?

Давайте решим задачу, связанную с прямоугольным треугольником \( \triangle MNK \), где \( \angle N = 90^\circ \) и \( \angle K = 60^\circ \). ### Шаг 1: Найти угол \( M \) В прямоугольном треугольнике сумма всех углов равна \( 180^\circ \). У нас известно, что: - \( \angle N = 90^\circ \) - \( \angle K = 60^\circ \) Чтобы найти угол \( M \), используем формулу: \[ \angle M = 180^\circ - \angle N - \angle K \] Подставим известные значения: \[ \angle M = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \] ### Шаг 2: Использовать свойства треугольника Теперь, когда мы знаем все углы, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника. У нас есть следующая информация: - \( MK + NK = 24.78 \) мм Назовем: - \( MK = c \) (гипотенуза) - \( NK = b \) (противоположная сторона угла \( K \)) - \( MN = a \) (прилежащая сторона угла \( K \)) ### Шаг 3: Найти соотношения между сторонами В прямоугольном треугольнике с углом \( 30^\circ \) и \( 60^\circ \) выполняются следующие соотношения: \[ \frac{b}{c} = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies b = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ \frac{a}{c} = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \implies a = c \cdot \frac{1}{2} \] ### Шаг 4: Подставить в условие задачи Теперь подставим выражения для \( a \) и \( b \) в уравнение: \[ c + b = 24.78 \] Подставим \( b = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24.78 \] Соберем \( c \): \[ c \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = 24.78 \] Теперь вычислим \( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1 + 0.866 = 1.866 \quad (\text{где } \sqrt{3} \approx 1.732) \] Подставим это значение: \[ c \cdot 1.866 = 24.78 \] Теперь найдем \( c \): \[ c = \frac{24.78}{1.866} \approx 13.26 \text{ мм} \] ### Ответ Численное значение гипотенузы \( MK \) равно примерно **13.26 мм**.