Реши способом подстановки систему уравнений: { � 2 − 2 � 2 = − 98 3 � 2 − � 2 = 311 { x 2 −2y 2 =−98 3x 2 −y 2 =311
Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, сначала запишем заданные уравнения:
- \( x^2 - 2y^2 = -98 \)
- \( 3x^2 - y^2 = 311 \)
Шаг 1: Выразим одну переменную через другую
Из первого уравнения выразим \( y^2 \):
\[ x^2 - 2y^2 = -98 \]
Переносим \( -2y^2 \) на правую сторону:
\[ x^2 + 98 = 2y^2 \]
Теперь делим обе стороны на 2, чтобы выразить \( y^2 \):
\[ y^2 = \frac{x^2 + 98}{2} \]
Шаг 2: Подставим выражение для \( y^2 \) во второе уравнение
Теперь подставим найденное значение \( y^2 \) во второе уравнение:
\[ 3x^2 - y^2 = 311 \]
Подставляем:
\[ 3x^2 - \frac{x^2 + 98}{2} = 311 \]
Шаг 3: Приведем уравнение к общему знаменателю
Чтобы избавиться от дроби, умножим всё уравнение на 2:
\[ 2 \cdot 3x^2 - (x^2 + 98) = 2 \cdot 311 \]
Это даст:
\[ 6x^2 - x^2 - 98 = 622 \]
Шаг 4: Упростим уравнение
Упрощаем:
\[ 5x^2 - 98 = 622 \]
Теперь добавим 98 к обеим сторонам:
\[ 5x^2 = 622 + 98 \]
\[ 5x^2 = 720 \]
Теперь делим на 5:
\[ x^2 = \frac{720}{5} = 144 \]
Шаг 5: Найдем значение \( x \)
Теперь найдём \( x \):
\[ x = \sqrt{144} = 12 \]
Шаг 6: Найдем значение \( y \)
Теперь подставим \( x = 12 \) обратно в выражение для \( y^2 \):
\[ y^2 = \frac{12^2 + 98}{2} \]
\[ y^2 = \frac{144 + 98}{2} = \frac{242}{2} = 121 \]
Теперь найдём \( y \):
\[ y = \sqrt{121} = 11 \]
Шаг 7: Запишем ответ
Мы нашли значения \( x \) и \( y \):
\[ x = 12, \quad y = 11 \]
Проверка
Чтобы удостовериться, что мы нашли правильное решение, подставим \( x = 12 \) и \( y = 11 \) в оба уравнения:
- \( 12^2 - 2 \cdot 11^2 = 144 - 242 = -98 \) (всё верно)
- \( 3 \cdot 12^2 - 11^2 = 3 \cdot 144 - 121 = 432 - 121 = 311 \) (всё верно)
Итог
Решение системы уравнений:
\[ x = 12, \quad y = 11 \]
