Для решения задачи, давайте разложим ее на части и проведем необходимые вычисления шаг за шагом.
Дано:
- Первый рабочий (П1) изготовил 80 деталей на 2 часа быстрее второго рабочего (П2).
- Работая вместе, они изготавливают 60 деталей за один час.
- Нам нужно узнать, за какое время второй рабочий изготовит 120 деталей.
Шаг 1: Определим производительность обоих рабочих.
Пусть время, за которое второй рабочий изготовит 80 деталей, составляет ( t ) часов. Тогда первый рабочий изготовит их за ( t - 2 ) часа.
Производительности:
Производительность первого рабочего:
[
R_1 = \frac{80 \text{ деталей}}{t - 2 \text{ часа}} = \frac{80}{t - 2} \text{ деталей/час}
]
Производительность второго рабочего:
[
R_2 = \frac{80 \text{ деталей}}{t \text{ часов}} = \frac{80}{t} \text{ деталей/час}
]
Шаг 2: Составим уравнение для совместной работы.
Мы знаем, что вместе они производят 60 деталей за 1 час. Таким образом, их совместная производительность равна:
[
R_1 + R_2 = 60
]
Подставим значения:
[
\frac{80}{t - 2} + \frac{80}{t} = 60
]
Шаг 3: Найдем общее уравнение.
Умножим уравнение на ( t(t - 2) ) для избавления от дробей:
[
80t + 80(t - 2) = 60t(t - 2)
]
Раскрываем скобки:
[
80t + 80t - 160 = 60t^2 - 120t
]
Соберем все элементы в одном уравнении:
[
60t^2 - 280t + 160 = 0
]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-280)^2 - 4 \cdot 60 \cdot 160
]
[
D = 78400 - 38400 = 40000
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = 200
]
Шаг 5: Найдем корни уравнения.
Используем формулу корней:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 \pm 200}{120}
]
Находим два корня:
- ( t_1 = \frac{480}{120} = 4 )
- ( t_2 = \frac{80}{120} ) (не подходит, так как время не может быть отрицательным).
Итак, ( t = 4 ) часов — это время, за которое П2 делает 80 деталей.
Шаг 6: Определим, за какое время П2 изготовит 120 деталей.
Теперь можем рассчитать:
Если П2 делает 80 деталей за 4 часа, его производительность:
[
R_2 = \frac{80}{4} = 20 \text{ деталей/час}
]
Теперь найдем, сколько часов ему потребуется на 120 деталей:
[
t_{120} = \frac{120}{20} = 6 \text{ часов}
]
Ответ
Второй рабочий изготовит 120 деталей за 6 часов.
