Первый рабочий изготовил 80 деталей на 2 часа быстрее второго за какое время второй рабочий изготовит 120 деталей если работая вместе они изготовливают за один час 60 деталей
Для решения задачи, давайте разложим ее на части и проведем необходимые вычисления шаг за шагом.
Дано:
- Первый рабочий (П1) изготовил 80 деталей на 2 часа быстрее второго рабочего (П2).
- Работая вместе, они изготавливают 60 деталей за один час.
- Нам нужно узнать, за какое время второй рабочий изготовит 120 деталей.
Шаг 1: Определим производительность обоих рабочих.
Пусть время, за которое второй рабочий изготовит 80 деталей, составляет \( t \) часов. Тогда первый рабочий изготовит их за \( t - 2 \) часа.
Производительности:
Производительность первого рабочего:
\[ R_1 = \frac{80 \text{ деталей}}{t - 2 \text{ часа}} = \frac{80}{t - 2} \text{ деталей/час} \]Производительность второго рабочего:
\[ R_2 = \frac{80 \text{ деталей}}{t \text{ часов}} = \frac{80}{t} \text{ деталей/час} \]
Шаг 2: Составим уравнение для совместной работы.
Мы знаем, что вместе они производят 60 деталей за 1 час. Таким образом, их совместная производительность равна:
\[ R_1 + R_2 = 60 \]
Подставим значения: \[ \frac{80}{t - 2} + \frac{80}{t} = 60 \]
Шаг 3: Найдем общее уравнение.
Умножим уравнение на \( t(t - 2) \) для избавления от дробей: \[ 80t + 80(t - 2) = 60t(t - 2) \] Раскрываем скобки: \[ 80t + 80t - 160 = 60t^2 - 120t \] Соберем все элементы в одном уравнении: \[ 60t^2 - 280t + 160 = 0 \]
Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-280)^2 - 4 \cdot 60 \cdot 160 \] \[ D = 78400 - 38400 = 40000 \]
Корень из дискриминанта: \[ \sqrt{D} = 200 \]
Шаг 5: Найдем корни уравнения.
Используем формулу корней: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 \pm 200}{120} \]
Находим два корня:
- \( t_1 = \frac{480}{120} = 4 \)
- \( t_2 = \frac{80}{120} \) (не подходит, так как время не может быть отрицательным).
Итак, \( t = 4 \) часов — это время, за которое П2 делает 80 деталей.
Шаг 6: Определим, за какое время П2 изготовит 120 деталей.
Теперь можем рассчитать: Если П2 делает 80 деталей за 4 часа, его производительность: \[ R_2 = \frac{80}{4} = 20 \text{ деталей/час} \] Теперь найдем, сколько часов ему потребуется на 120 деталей: \[ t_{120} = \frac{120}{20} = 6 \text{ часов} \]
Ответ
Второй рабочий изготовит 120 деталей за 6 часов.
