На координатной плоскости заданы точки: А (-1; 6), В (-4; -9), С (8; -10) и D (7; -27). Найдите длину вектора 3АС − 2𝐵𝐷 .

Для решения задачи нам нужно сначала найти векторы \( \vec{AC} \) и \( \vec{BD} \), а затем вычислить вектор \( 3\vec{AC} - 2\vec{BD} \).

Шаг 1: Найдем вектор \( \vec{AC} \)

Вектор \( \vec{AC} \) можно найти, вычитая координаты точки \( A \) из координат точки \( C \): \[ \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x_C - x_A, y_C - y_A) \] Где:

• \( A(-1; 6) \)
• \( C(8; -10) \)

Теперь подставим координаты: \[ \vec{AC} = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16) \]

Шаг 2: Найдем вектор \( \vec{BD} \)

Аналогично найдем вектор \( \vec{BD} \): \[ \vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (x_D - x_B, y_D - y_B) \] Где:

• \( B(-4; -9) \)
• \( D(7; -27) \)

Подставим координаты: \[ \vec{BD} = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18) \]

Шаг 3: Найдем вектор \( 3\vec{AC} \)

Теперь умножим вектор \( \vec{AC} \) на 3: \[ 3\vec{AC} = 3(9, -16) = (27, -48) \]

Шаг 4: Найдем вектор \( 2\vec{BD} \)

А теперь умножим вектор \( \vec{BD} \) на 2: \[ 2\vec{BD} = 2(11, -18) = (22, -36) \]

Шаг 5: Вычислим вектор \( 3\vec{AC} - 2\vec{BD} \)

Теперь вычтем вектор \( 2\vec{BD} \) из \( 3\vec{AC} \): \[ 3\vec{AC} - 2\vec{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 - (-36)) = (5, -12) \]

Шаг 6: Найдем длину вектора \( 5\vec{i} - 12\vec{j} \)

Длину вектора можно найти по формуле: \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{X^2 + Y^2} \] Где \( X \) и \( Y \) — это компоненты вектора: \[ ||\vec{v}|| = ||(5, -12)|| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]

Ответ: Длина вектора \( 3\vec{AC} - 2\vec{BD} \) равна 13.