Для решения задачи нам нужно сначала найти векторы ( \vec{AC} ) и ( \vec{BD} ), а затем вычислить вектор ( 3\vec{AC} - 2\vec{BD} ).
Шаг 1: Найдем вектор ( \vec{AC} )
Вектор ( \vec{AC} ) можно найти, вычитая координаты точки ( A ) из координат точки ( C ):
[
\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x_C - x_A, y_C - y_A)
]
Где:
- ( A(-1; 6) )
- ( C(8; -10) )
Теперь подставим координаты:
[
\vec{AC} = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16)
]
Шаг 2: Найдем вектор ( \vec{BD} )
Аналогично найдем вектор ( \vec{BD} ):
[
\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (x_D - x_B, y_D - y_B)
]
Где:
- ( B(-4; -9) )
- ( D(7; -27) )
Подставим координаты:
[
\vec{BD} = (7 - (-4), -27 - (-9)) = (7 + 4, -27 + 9) = (11, -18)
]
Шаг 3: Найдем вектор ( 3\vec{AC} )
Теперь умножим вектор ( \vec{AC} ) на 3:
[
3\vec{AC} = 3(9, -16) = (27, -48)
]
Шаг 4: Найдем вектор ( 2\vec{BD} )
А теперь умножим вектор ( \vec{BD} ) на 2:
[
2\vec{BD} = 2(11, -18) = (22, -36)
]
Шаг 5: Вычислим вектор ( 3\vec{AC} - 2\vec{BD} )
Теперь вычтем вектор ( 2\vec{BD} ) из ( 3\vec{AC} ):
[
3\vec{AC} - 2\vec{BD} = (27, -48) - (22, -36) = (27 - 22, -48 - (-36)) = (5, -12)
]
Шаг 6: Найдем длину вектора ( 5\vec{i} - 12\vec{j} )
Длину вектора можно найти по формуле:
[
||\vec{v}|| = \sqrt{X^2 + Y^2}
]
Где ( X ) и ( Y ) — это компоненты вектора:
[
||\vec{v}|| = ||(5, -12)|| = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
]
Ответ: Длина вектора ( 3\vec{AC} - 2\vec{BD} ) равна 13.
