Решить задачу: в ящике 6 желтых и 4 красных флажка. Наудачу извлекаются четыре флажка. Какова вероятность того, что два из них желтые?
Для решения задачи о вероятности того, что из четырех извлеченных флажков два окажутся желтыми, мы можем использовать формулу вероятности. Давайте разберем решение шаг за шагом.
Обозначим общее количество флажков: В ящике 6 желтых и 4 красных флажка, всего у нас 6 + 4 = 10 флажков.
Найдем общее количество способов извлечь 4 флажка из 10. Мы можем воспользоваться комбинаторикой для вычисления количества способов выбрать 4 флажка из 10: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] где \( n \) — общее количество флажков, \( k \) — количество выбранных флажков. В нашей задаче: \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4! \cdot 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]
Найдем количество способов выбрать 2 желтых и 2 красных флажка.
- Количество способов выбрать 2 желтых флажка из 6: \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
- Количество способов выбрать 2 красных флажка из 4: \[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]
Найдем общее количество способов выбрать 2 желтых и 2 красных флажка: Чтобы получить общее количество способов выбрать 2 желтых и 2 красных флажка, нужно перемножить полученные значения: \[ C(6, 2) \times C(4, 2) = 15 \times 6 = 90 \]
Найдем вероятность: Теперь, чтобы найти вероятность того, что из четырех извлеченных флажков ровно два будут желтыми, используем формулу для вероятности: \[ P(A) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{90}{210} \]
Упростим дробь: Чтобы упростить \(\frac{90}{210}\), найдем наибольший общий делитель (НОД) для чисел 90 и 210. НОД(90, 210) = 30, поэтому: \[ \frac{90 \div 30}{210 \div 30} = \frac{3}{7} \]
Таким образом, вероятность того, что среди 4 извлеченных флажков два будут желтыми, равна \(\frac{3}{7}\).
Ответ: \(\frac{3}{7}\).
