задумали натуральное число , а потом дописали к нему справа одну цифру. Получившееся число больше задуманного на 169. Какую цифру дописали
Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.
Обозначим задуманное натуральное число как \( x \), а дописанную цифру как \( d \). Когда мы дописываем цифру \( d \) справа к числу \( x \), мы получаем новое число, которое можно записать как \( 10x + d \).
Согласно условию задачи, это новое число больше задуманного на 169, то есть можно записать уравнение:
\[ 10x + d = x + 169 \]
Теперь упростим это уравнение. Переносим \( x \) на левую сторону:
\[ 10x - x + d = 169 \]
Это приводит нас к:
\[ 9x + d = 169 \]
Теперь выразим \( d \):
\[ d = 169 - 9x \]
Мы знаем, что \( d \) — это цифра, а значит, она должна быть в диапазоне от 0 до 9 (включительно). Поэтому у нас есть ограничение:
\[ 0 \leq 169 - 9x \leq 9 \]
Теперь мы можем решить два неравенства.
- Рассмотрим первое неравенство:
\[ 169 - 9x \geq 0 \]
Из этого неравенства следует:
\[ 169 \geq 9x \quad \text{или} \quad x \leq \frac{169}{9} \approx 18.78 \]
Поскольку \( x \) должно быть натуральным числом, это означает, что:
\[ x \leq 18 \]
- Теперь второе неравенство:
\[ 169 - 9x \leq 9 \]
Из этого неравенства следует:
\[ 160 \leq 9x \quad \text{или} \quad x \geq \frac{160}{9} \approx 17.78 \]
Так как \( x \) — натуральное число, это значит, что:
\[ x \geq 18 \]
Теперь мы знаем, что \( x \) может принимать только значение 18, так как это единственное целое число, которое удовлетворяет обоим условиям.
Теперь подставим \( x = 18 \) в выражение для \( d \):
\[ d = 169 - 9 \times 18 \]
Рассчитаем:
\[ d = 169 - 162 = 7 \]
Таким образом, цифра, которую дописали, равна 7.
