Давайте разберёмся с задачей шаг за шагом.
Обозначим задуманное натуральное число как ( x ), а дописанную цифру как ( d ). Когда мы дописываем цифру ( d ) справа к числу ( x ), мы получаем новое число, которое можно записать как ( 10x + d ).
Согласно условию задачи, это новое число больше задуманного на 169, то есть можно записать уравнение:
[
10x + d = x + 169
]
Теперь упростим это уравнение. Переносим ( x ) на левую сторону:
[
10x - x + d = 169
]
Это приводит нас к:
[
9x + d = 169
]
Теперь выразим ( d ):
[
d = 169 - 9x
]
Мы знаем, что ( d ) — это цифра, а значит, она должна быть в диапазоне от 0 до 9 (включительно). Поэтому у нас есть ограничение:
[
0 \leq 169 - 9x \leq 9
]
Теперь мы можем решить два неравенства.
- Рассмотрим первое неравенство:
[
169 - 9x \geq 0
]
Из этого неравенства следует:
[
169 \geq 9x \quad \text{или} \quad x \leq \frac{169}{9} \approx 18.78
]
Поскольку ( x ) должно быть натуральным числом, это означает, что:
[
x \leq 18
]
- Теперь второе неравенство:
[
169 - 9x \leq 9
]
Из этого неравенства следует:
[
160 \leq 9x \quad \text{или} \quad x \geq \frac{160}{9} \approx 17.78
]
Так как ( x ) — натуральное число, это значит, что:
[
x \geq 18
]
Теперь мы знаем, что ( x ) может принимать только значение 18, так как это единственное целое число, которое удовлетворяет обоим условиям.
Теперь подставим ( x = 18 ) в выражение для ( d ):
[
d = 169 - 9 \times 18
]
Рассчитаем:
[
d = 169 - 162 = 7
]
Таким образом, цифра, которую дописали, равна 7.
Ответ: 7
