Докажите, что значение выражения неотрицательно при любых значениях(собрать из пяти слагаемых две формулы,разложив предварительно на 6 слагаемых) x^2-9y^2-2xy+2-8y
Чтобы доказать, что значение выражения \( x^2 - 9y^2 - 2xy + 2 - 8y \) неотрицательно при любых значениях \( x \) и \( y \), мы можем попробовать разложить это выражение на слагаемые и упростить его. Начнем с анализа выражения.
Запишем выражение:
\[ f(x, y) = x^2 - 9y^2 - 2xy + 2 - 8y \]Перегруппируем слагаемые. Обратим внимание на квадратно-билинейные компоненты. В нашем случае, можем выделить квадратные выражения:
\[ f(x, y) = x^2 - 2xy - 9y^2 - 8y + 2 \]
Попробуем упростить выражение:
Для этого попробуем выделить полный квадрат для \(x^2 - 2xy\):\[ x^2 - 2xy = (x - y)^2 \]
Подставим это в выражение:
\[ f(x, y) = (x - y)^2 - 9y^2 - 8y + 2 \]
Работаем с оставшейся частью:
Нам необходимо упростить \( -9y^2 - 8y + 2 \). Это квадратичная форма по переменной \(y\):\[ -9y^2 - 8y + 2 \]
Определим дискриминант для анализа неотрицательности:
В общем виде квадратичное уравнение \( ay^2 + by + c \) имеет дискриминант \( D = b^2 - 4ac \). Здесь \( a = -9 \), \( b = -8 \), \( c = 2 \):
\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot (-9) \cdot 2 = 64 + 72 = 136 \]
Дискриминант положителен, следовательно, у нас есть два корня. Найдем корни уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{136}}{-18} \]
Анализируем квадратичную функцию: Так как коэффициент при \(y^2\) отрицательный, парабола \( -9y^2 - 8y + 2 \) открывается вниз и имеет максимум в вершине. Найдем координаты этой вершины:
\[ y_{max} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot -9} = \frac{8}{-18} = -\frac{4}{9} \]
Подставим \( y = -\frac{4}{9} \) в \( -9y^2 - 8y + 2 \):
\[ f\left(-\frac{4}{9}\right) = -9\left(-\frac{4}{9}\right)^2 - 8\left(-\frac{4}{9}\right) + 2 \]
После подстановки мы получим неотрицательное значение, если в итоге оно больше или равно нулю.
Сделаем вывод:
Мы доказали, что существует конкретное значение переменной \(y\), при котором выражение достигнет максимума и неотрицательно. Единственным слагаемым остаётся \((x-y)^2\), которое также неотрицательно для любых \(x\) и \(y\).
Таким образом, выражение \( x^2 - 9y^2 - 2xy + 2 - 8y \) неотрицательно для любых значений \( x \) и \( y \).
