Основания прямоугольной трапеции равны 5 5 и 13 13 . Угол между боковой стороной и одним из оснований равен 13 5 ∘ 135 ∘ . Найди площадь трапеции.

Для решения задачи о вычислении площади прямоугольной трапеции, начнем с того, что у нас есть основание \( a = 5 \) и основание \( b = 13 \). Угол между боковой стороной и одним из оснований равен \( 135^\circ \).

Шаг 1: Определение высоты трапеции

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. Так как угол между боковой стороной \( AD \) и основанием \( AB \) равен \( 135^\circ \), это означает, что угол между боковой стороной \( AD \) и основанием \( CD \) равен \( 135^\circ - 90^\circ = 45^\circ \).

Поскольку у нас есть прямоугольная трапеция, мы можем использовать свойства треугольника. Из геометрии известно, что высота \( h \) может быть найдена следующим образом:

• Если боковая сторона \( AD \) составляет угол \( 45^\circ \) с основанием \( CD \), то: \[ h = AD \cdot \sin(45^\circ) \] где \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).

Шаг 2: Вычисление высоты через длину боковой стороны

Мы пока не знаем длину боковой стороны \( AD \), но можно выразить её через одну из сторон или высоту. Строим прямоугольный треугольник, где одна сторона \( AB \) равна \( 5 \), а другая составляет высоту \( h \).

С точки зрения прямоугольного треугольника: \[ h = AB \cdot \tan(45^\circ) \] где \( \tan(45^\circ) = 1 \): \[ h = AB = 5 \]

Шаг 3: Вычисление площади трапеции

Площадь \( S \) трапеции рассчитывается по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2} \] где \( a \) и \( b \) - основания, а \( h \) - высота. Подставим известные величины: \[ S = \frac{(5 + 13) \cdot 5}{2} \] \[ S = \frac{18 \cdot 5}{2} \] \[ S = \frac{90}{2} = 45 \]

Ответ

Площадь трапеции равна \( 45 \) квадратных единиц.