Трехзначное число, сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа.

Давайте разберем задачу и решим ее пошагово. У нас есть трехзначное число, которое можно представить в следующем виде: \[ abc = 100a + 10b + c \] Здесь \( a \), \( b \), и \( c \) — это цифры трехзначного числа. Важно отметить, что \( a \) не может быть равен 0, поскольку это трехзначное число. Число, записанное в обратном порядке, будет: \[ cba = 100c + 10b + a \] По условию задачи, мы складываем это число с исходным и получаем 685: \[ (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 685 \] Соберем все подобные члены: \[ 101a + 20b + 101c = 685 \] Теперь упростим уравнение: \[ 101(a + c) + 20b = 685 \] Теперь выразим \((a + c)\): \[ 101(a + c) = 685 - 20b \] \[ a + c = \frac{685 - 20b}{101} \] Чтобы \( a + c \) было целым числом, \( 685 - 20b \) должно делиться на 101. Теперь найдем возможные значения для \( b \). Рассмотрим \( b = 0, 1, 2, \ldots, 9 \): - Когда \( b = 0 \): \[ 685 - 20 \cdot 0 = 685 \Rightarrow \frac{685}{101} \approx 6.78 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 1 \): \[ 685 - 20 \cdot 1 = 665 \Rightarrow \frac{665}{101} \approx 6.59 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 2 \): \[ 685 - 20 \cdot 2 = 645 \Rightarrow \frac{645}{101} \approx 6.39 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 3 \): \[ 685 - 20 \cdot 3 = 605 \Rightarrow \frac{605}{101} \approx 5.99 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 4 \): \[ 685 - 20 \cdot 4 = 585 \Rightarrow \frac{585}{101} \approx 5.79 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 5 \): \[ 685 - 20 \cdot 5 = 485 \Rightarrow \frac{485}{101} \approx 4.81 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 6 \): \[ 685 - 20 \cdot 6 = 425 \Rightarrow \frac{425}{101} = 4.21 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 7 \): \[ 685 - 20 \cdot 7 = 365 \Rightarrow \frac{365}{101} \approx 3.61 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 8 \): \[ 685 - 20 \cdot 8 = 305 \Rightarrow \frac{305}{101} \approx 3.02 \text{ (не целое)} \] - Когда \( b = 9 \): \[ 685 - 20 \cdot 9 = 245 \Rightarrow \frac{245}{101} \approx 2.43 \text{ (не целое)} \] Выяснили, что только для \( b = 4 \): - \( b = 4 \) Теперь подставим \( b = 4 \) в уравнение и найдем \( a + c \): \[ a + c = \frac{685 - 20 \cdot 4}{101} = \frac{685 - 80}{101} = \frac{605}{101} = 6 \] Теперь у нас есть \( a + c = 6\). Значения \( a \) и \( c \) могут быть такими: - \( a = 1, c = 5 \) - \( a = 2, c = 4 \) - \( a = 3, c = 3 \) - \( a = 4, c = 2 \) - \( a = 5, c = 1 \) Любая пара \( (a, c) \) должна давать валидное трехзначное число. Например, можно взять пару \( a = 5, c = 1\), а \( b = 4 \): Из этого выходит число \( 541\). Теперь найдем сумму цифр исходного числа: \[ 5 + 4 + 1 = 10 \] Итак, сумма цифр исходного числа равна 10.