Трехзначное число, сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В сумме получилось число 685. Найдите сумму цифр исходного числа.

Давайте разберем задачу и решим ее пошагово.

У нас есть трехзначное число, которое можно представить в следующем виде:

\[ abc = 100a + 10b + c \]

Здесь \( a \), \( b \), и \( c \) — это цифры трехзначного числа. Важно отметить, что \( a \) не может быть равен 0, поскольку это трехзначное число.

Число, записанное в обратном порядке, будет:

\[ cba = 100c + 10b + a \]

По условию задачи, мы складываем это число с исходным и получаем 685:

\[ (100a + 10b + c) + (100c + 10b + a) = 685 \]

Соберем все подобные члены:

\[ 101a + 20b + 101c = 685 \]

Теперь упростим уравнение:

\[ 101(a + c) + 20b = 685 \]

Теперь выразим \((a + c)\):

\[ 101(a + c) = 685 - 20b \]

\[ a + c = \frac{685 - 20b}{101} \]

Чтобы \( a + c \) было целым числом, \( 685 - 20b \) должно делиться на 101. Теперь найдем возможные значения для \( b \).

Рассмотрим \( b = 0, 1, 2, \ldots, 9 \):

• Когда \( b = 0 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 0 = 685 \Rightarrow \frac{685}{101} \approx 6.78 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 1 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 1 = 665 \Rightarrow \frac{665}{101} \approx 6.59 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 2 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 2 = 645 \Rightarrow \frac{645}{101} \approx 6.39 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 3 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 3 = 605 \Rightarrow \frac{605}{101} \approx 5.99 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 4 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 4 = 585 \Rightarrow \frac{585}{101} \approx 5.79 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 5 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 5 = 485 \Rightarrow \frac{485}{101} \approx 4.81 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 6 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 6 = 425 \Rightarrow \frac{425}{101} = 4.21 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 7 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 7 = 365 \Rightarrow \frac{365}{101} \approx 3.61 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 8 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 8 = 305 \Rightarrow \frac{305}{101} \approx 3.02 \text{ (не целое)} \]

• Когда \( b = 9 \):

  \[ 685 - 20 \cdot 9 = 245 \Rightarrow \frac{245}{101} \approx 2.43 \text{ (не целое)} \]

Выяснили, что только для \( b = 4 \):

• \( b = 4 \)

Теперь подставим \( b = 4 \) в уравнение и найдем \( a + c \):

\[ a + c = \frac{685 - 20 \cdot 4}{101} = \frac{685 - 80}{101} = \frac{605}{101} = 6 \]

Теперь у нас есть \( a + c = 6\). Значения \( a \) и \( c \) могут быть такими:

• \( a = 1, c = 5 \)
• \( a = 2, c = 4 \)
• \( a = 3, c = 3 \)
• \( a = 4, c = 2 \)
• \( a = 5, c = 1 \)

Любая пара \( (a, c) \) должна давать валидное трехзначное число. Например, можно взять пару \( a = 5, c = 1\), а \( b = 4 \):

Из этого выходит число \( 541\).

Теперь найдем сумму цифр исходного числа:

\[ 5 + 4 + 1 = 10 \]

Итак, сумма цифр исходного числа равна 10.