Задачи по теории вероятности к ЕГЭ 2025 с решениями

Конечно! Давайте разберем некоторые задачи по теории вероятностей, которые могут встретиться на ЕГЭ, и я предоставлю вам детальные решения с объяснениями. ### Задача 1: Броски игральной кости **Условие:** Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7? **Решение:** 1. **Количество возможных исходов:** При каждом броске игральной кости есть 6 возможных исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6). Поскольку кость бросается дважды, общее количество возможных исходов равно \( 6 \times 6 = 36 \). 2. **Количество благоприятных исходов:** Теперь нужно найти комбинации, которые дают в сумме 7: - (1, 6) - (2, 5) - (3, 4) - (4, 3) - (5, 2) - (6, 1) Всего таких комбинаций 6. 3. **Вероятность:** Чтобы найти вероятность события, нужно разделить количество благоприятных исходов на общее количество возможных исходов: \[ P(A) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных исходов}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}. \] ### Задача 2: Извлечение шаров из урны **Условие:** В урне 4 красных и 6 синих шаров. Какова вероятность того, что, вытянув один шар, он будет красным? **Решение:** 1. **Общее количество шаров:** Сначала определим общее количество шаров в урне: \[ 4 \, (\text{красные}) + 6 \, (\text{синие}) = 10 \, (\text{всего шаров}). \] 2. **Количество благоприятных исходов:** Количество красных шаров равно 4. 3. **Вероятность:** Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что вытянутый шар красный: \[ P(A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}. \] ### Задача 3: Распределение вероятностей **Условие:** В урне 3 красных и 2 зеленых шара. Какова вероятность того, что при случайном выборе двух шаров оба будут красными? **Решение:** 1. **Общее количество шаров:** В урне всего \( 3 + 2 = 5 \) шаров. 2. **Общее количество способов выбрать 2 шара:** Используем формулу сочетаний \( C(n, k) \), где \( n \) — общее число элементов, а \( k \) — количество выбираемых элементов: \[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10. \] 3. **Количество способов выбрать 2 красных шара:** Сначала определим, сколько способов можно выбрать 2 красных шара из 3: \[ C(3, 2) = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3}{1} = 3. \] 4. **Вероятность:** Проведем подсчеты по формуле вероятности: \[ P(A) = \frac{\text{количество способов выбрать 2 красных шара}}{\text{общее количество способов выбрать 2 шара}} = \frac{3}{10}. \] ### Итог Мы рассмотрели несколько типичных задач по теории вероятностей. Все они иллюстрируют основные принципы вычисления вероятностей и формирования благоприятных исходов. Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите разобрать другие задачи, не стесняйтесь спрашивать!