В треугольнике ���MNK угол ���NMK равен 20∘20∘ , ��=��MK=KN . Найди внешний угол при вершине �K .

Для решения задачи, давайте сначала разберёмся с тем, что у нас есть, и как найти внешний угол при вершине \( K \) в данном треугольнике \( MNK \).

Дано:

• Угол \( \angle NMK = 20^\circ \)
• \( MN = MK = KN \) (треугольник isosceles, то есть в нем равны два боковых угла)

Найдем угол при вершине \( K \)

Поскольку в треугольнике \( MNK \) стороны \( MN \) и \( MK \) равны, это также означает, что углы против этих сторон будут равны. Мы обозначим углы в треугольнике следующим образом:

• \( \angle NMK = 20^\circ \)
• \( \angle MNK = x \) (недостающий угол)

Согласно свойству треугольника, сумма всех углов равна \( 180^\circ \): \[ \angle NMK + \angle MNK + \angle KNM = 180^\circ \] Так как \( \angle MNK = \angle KNM \) (поскольку \( MN = MK \)), можем обозначить:

\[ \angle KNM = x \]

Теперь у нас есть уравнение: \[ 20^\circ + x + x = 180^\circ \] \[ 20^\circ + 2x = 180^\circ \] Вычтем \( 20^\circ \) из обеих сторон: \[ 2x = 180^\circ - 20^\circ \] \[ 2x = 160^\circ \] Теперь делим обе стороны на 2: \[ x = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ \]

Углы в треугольнике

Теперь у нас есть:

• \( \angle NMK = 20^\circ \)
• \( \angle MNK = 80^\circ \)
• \( \angle KNM = 80^\circ \)

Найдем внешний угол при вершине \( K \)

Внешний угол при вершине \( K \) (обозначим его \( E \)) равен сумме двух внутренних углов, которые не смежные с этим углом, то есть: \[ E = \angle NMK + \angle KNM \] Подставим известные значения: \[ E = 20^\circ + 80^\circ = 100^\circ \]

Ответ:

Внешний угол при вершине \( K \) равен \( 100^\circ \).