Для решения задачи, давайте сначала разберёмся с тем, что у нас есть, и как найти внешний угол при вершине ( K ) в данном треугольнике ( MNK ).
Дано:
- Угол ( \angle NMK = 20^\circ )
- ( MN = MK = KN ) (треугольник isosceles, то есть в нем равны два боковых угла)
Найдем угол при вершине ( K )
Поскольку в треугольнике ( MNK ) стороны ( MN ) и ( MK ) равны, это также означает, что углы против этих сторон будут равны. Мы обозначим углы в треугольнике следующим образом:
- ( \angle NMK = 20^\circ )
- ( \angle MNK = x ) (недостающий угол)
Согласно свойству треугольника, сумма всех углов равна ( 180^\circ ):
[
\angle NMK + \angle MNK + \angle KNM = 180^\circ
]
Так как ( \angle MNK = \angle KNM ) (поскольку ( MN = MK )), можем обозначить:
[
\angle KNM = x
]
Теперь у нас есть уравнение:
[
20^\circ + x + x = 180^\circ
]
[
20^\circ + 2x = 180^\circ
]
Вычтем ( 20^\circ ) из обеих сторон:
[
2x = 180^\circ - 20^\circ
]
[
2x = 160^\circ
]
Теперь делим обе стороны на 2:
[
x = \frac{160^\circ}{2} = 80^\circ
]
Углы в треугольнике
Теперь у нас есть:
- ( \angle NMK = 20^\circ )
- ( \angle MNK = 80^\circ )
- ( \angle KNM = 80^\circ )
Найдем внешний угол при вершине ( K )
Внешний угол при вершине ( K ) (обозначим его ( E )) равен сумме двух внутренних углов, которые не смежные с этим углом, то есть:
[
E = \angle NMK + \angle KNM
]
Подставим известные значения:
[
E = 20^\circ + 80^\circ = 100^\circ
]
Ответ:
Внешний угол при вершине ( K ) равен ( 100^\circ ).
