Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно использовать формулу:
[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где (a) и (b) — это катеты треугольника.
В данной задаче нам даны:
- Гипотенуза (c = 34)
- Синус одного из острых углов ( \sin(\theta) = \frac{8}{17} )
Шаг 1: Найдем длину катетов через гипотенузу и синус
Сначала мы можем использовать определение синуса. Синус угла ( \theta ) равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы:
[
\sin(\theta) = \frac{a}{c}
]
где (a) — это противолежащий катет, а (c) — гипотенуза. Подставим известные значения:
[
\frac{8}{17} = \frac{a}{34}
]
Теперь решим это уравнение для (a):
[
a = 34 \cdot \frac{8}{17} = 34 \cdot \frac{8}{17} = 16
]
Таким образом, один катет (a = 16).
Шаг 2: Найдем второй катет
Теперь нам нужно найти длину другого катета (b). Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполнено теорема Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2
]
Подставим известные значения:
[
34^2 = 16^2 + b^2
]
Посчитаем (34^2) и (16^2):
[
1156 = 256 + b^2
]
Теперь решим это уравнение для (b^2):
[
b^2 = 1156 - 256 = 900
]
[
b = \sqrt{900} = 30
]
Таким образом, второй катет (b = 30).
Шаг 3: Найдем площадь треугольника
Теперь мы можем найти площадь:
[
S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = \frac{1}{2} \cdot 480 = 240
]
Ответ
Площадь прямоугольного треугольника равна (240) квадратных единиц.
