Найди площадь прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 34 , а синус одного из острых углов равен 8/17
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно использовать формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
где \(a\) и \(b\) — это катеты треугольника.
В данной задаче нам даны:
- Гипотенуза \(c = 34\)
- Синус одного из острых углов \( \sin(\theta) = \frac{8}{17} \)
Шаг 1: Найдем длину катетов через гипотенузу и синус
Сначала мы можем использовать определение синуса. Синус угла \( \theta \) равен отношению длины противолежащего катета к длине гипотенузы:
\[ \sin(\theta) = \frac{a}{c} \]
где \(a\) — это противолежащий катет, а \(c\) — гипотенуза. Подставим известные значения:
\[ \frac{8}{17} = \frac{a}{34} \]
Теперь решим это уравнение для \(a\):
\[ a = 34 \cdot \frac{8}{17} = 34 \cdot \frac{8}{17} = 16 \]
Таким образом, один катет \(a = 16\).
Шаг 2: Найдем второй катет
Теперь нам нужно найти длину другого катета \(b\). Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике выполнено теорема Пифагора:
\[ c^2 = a^2 + b^2 \]
Подставим известные значения:
\[ 34^2 = 16^2 + b^2 \]
Посчитаем \(34^2\) и \(16^2\):
\[ 1156 = 256 + b^2 \]
Теперь решим это уравнение для \(b^2\):
\[ b^2 = 1156 - 256 = 900 \] \[ b = \sqrt{900} = 30 \]
Таким образом, второй катет \(b = 30\).
Шаг 3: Найдем площадь треугольника
Теперь мы можем найти площадь:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 30 = \frac{1}{2} \cdot 480 = 240 \]
Ответ
Площадь прямоугольного треугольника равна \(240\) квадратных единиц.
