Реши пример

Чтобы определить, кратно ли выражение \(18\), раскроем скобки и упростим его:

Шаг 1: Раскрытие скобок

Выражение: \[ (4k - 11)(4k + 12) + 4(2k - 3)(3 + 4k) \]

Раскроем каждое произведение:

1. \((4k - 11)(4k + 12)\): \[ = 4k \cdot 4k + 4k \cdot 12 - 11 \cdot 4k - 11 \cdot 12 = 16k^2 + 48k - 44k - 132 = 16k^2 + 4k - 132 \]

2. \(4(2k - 3)(3 + 4k)\): \[ = 4 \cdot (2k \cdot 3 + 2k \cdot 4k - 3 \cdot 3 - 3 \cdot 4k) = 4 \cdot (6k + 8k^2 - 9 - 12k) = 4 \cdot (8k^2 - 6k - 9) = 32k^2 - 24k - 36 \]

Шаг 2: Сложение и упрощение

Сложим полученные части: \[ 16k^2 + 4k - 132 + 32k^2 - 24k - 36 \]

Объединим подобные члены: \[ (16k^2 + 32k^2) + (4k - 24k) + (-132 - 36) = 48k^2 - 20k - 168 \]

Шаг 3: Проверка на кратность 18

Теперь каждое из слагаемых должно быть проверено на кратность 18.

1. \(48k^2\) — это число всегда кратно 18, так как \(48 \equiv 0 \mod 18\).

2. \(-20k\) — это число будет кратно 18 не для всех значений \(k\).

3. \(-168\) делится на 18, так как \(-168 \div 18 = -9\).

Вывод: \(48k^2 - 20k - 168\) будет кратно 18 не для всех значений \(k\), так как член \(-20k\) не привязан к кратности 18 для произвольных \(k\).

Следовательно, утверждение не верно для любого \(k\).