Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что произведение чисел на карточках простое число

Для решения задачи нужно найти вероятность того, что произведение чисел, выбранных Петей, Васей и Толей, является простым числом. **Шаг 1: Определение простого числа** Простое число — это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Например, числа 2, 3, 5, 7 — простые, а 4, 6, 8 не являются простыми, так как имеют делители, отличные от 1 и самих себя. **Шаг 2: Ситуация с карточками** Каждый из трех участников выбирает по одной карточке из набора: 1, 4, 5, 6, 13. Всего вариантов выбора для каждого участника — 5. **Шаг 3: Признаки произведения** Произведение трех чисел будет простым числом, только в случае, если: 1. Одно из чисел равно простому числу, а два других — 1. 2. Если число больше 1, но не является простым, то произведение не будет простым. Таким образом, нам нужно выяснить, какие числовые комбинации могут привести к простому произведению. **Шаг 4: Возможные карточки** В нашем наборе чисел 1, 4, 5, 6, 13, давайте выделим простые числа: - Число 5 и 13 — простые. - Число 1 не влияет на произведение (признак нейтральности). **Шаг 5: Попробуем все комбинации** Нам нужно посчитать случаи, когда одно из выбранных чисел является простым (5 или 13) и остальные — единицы. Во всех других случаях произведение не будет простым. **Подсчёт возможных случаев**: 1. Для простого числа 5: - Петя выбирает 5, а Вася и Толя выбирают 1. - Возможные варианты: (5, 1, 1), где порядок значения не важен, потому что произведение одинаково. Порядок не влияет, так как у нас 3 ученика. Есть 3 варианта, так как 5 может быть выбрано одним из трех участников. 2. Для простого числа 13: - Петя выбирает 13, а Вася и Толя выбирают 1. - Аналогично, 3 варианта: (13, 1, 1). Итого, мы имеем 3 (для числа 5) + 3 (для числа 13) = 6 благоприятных случаев. **Шаг 6: Общее число исходов** Общее количество возможных исходов, когда каждый выбирает по одной карточке из пяти, равно \(5 \times 5 \times 5 = 125\). **Шаг 7: Вероятность** Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что произведение будет простым числом: \[ P = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число исходов}} = \frac{6}{125} \] **Ответ**: Вероятность того, что произведение чисел на карточках будет простым числом, равна \( \frac{6}{125} \).