Пете, Васе и Толе выдали одинаковые наборы из пяти карточек: 1, 4, 5, 6, 13. Каждый случайно выбирает одну из своих карточек и выкладывает на стол. Найдите вероятность того, что…

Для решения задачи нужно найти вероятность того, что произведение чисел, выбранных Петей, Васей и Толей, является простым числом.

Шаг 1: Определение простого числа
Простое число — это натуральное число, большее 1, которое делится только на 1 и на само себя. Например, числа 2, 3, 5, 7 — простые, а 4, 6, 8 не являются простыми, так как имеют делители, отличные от 1 и самих себя.

Шаг 2: Ситуация с карточками
Каждый из трех участников выбирает по одной карточке из набора: 1, 4, 5, 6, 13. Всего вариантов выбора для каждого участника — 5.

Шаг 3: Признаки произведения
Произведение трех чисел будет простым числом, только в случае, если:

1. Одно из чисел равно простому числу, а два других — 1.
2. Если число больше 1, но не является простым, то произведение не будет простым.

Таким образом, нам нужно выяснить, какие числовые комбинации могут привести к простому произведению.

Шаг 4: Возможные карточки
В нашем наборе чисел 1, 4, 5, 6, 13, давайте выделим простые числа:

• Число 5 и 13 — простые.
• Число 1 не влияет на произведение (признак нейтральности).

Шаг 5: Попробуем все комбинации
Нам нужно посчитать случаи, когда одно из выбранных чисел является простым (5 или 13) и остальные — единицы. Во всех других случаях произведение не будет простым.

Подсчёт возможных случаев:

1. Для простого числа 5:

   • Петя выбирает 5, а Вася и Толя выбирают 1.
   • Возможные варианты: (5, 1, 1), где порядок значения не важен, потому что произведение одинаково. Порядок не влияет, так как у нас 3 ученика. Есть 3 варианта, так как 5 может быть выбрано одним из трех участников.

2. Для простого числа 13:

   • Петя выбирает 13, а Вася и Толя выбирают 1.
   • Аналогично, 3 варианта: (13, 1, 1).

Итого, мы имеем 3 (для числа 5) + 3 (для числа 13) = 6 благоприятных случаев.

Шаг 6: Общее число исходов
Общее количество возможных исходов, когда каждый выбирает по одной карточке из пяти, равно \(5 \times 5 \times 5 = 125\).

Шаг 7: Вероятность
Теперь мы можем рассчитать вероятность того, что произведение будет простым числом:

\[ P = \frac{\text{число благоприятных случаев}}{\text{общее число исходов}} = \frac{6}{125} \]

Ответ: Вероятность того, что произведение чисел на карточках будет простым числом, равна \( \frac{6}{125} \).