Для решения данной задачи найдем длину вектора ( \mathbf{3AC} - \mathbf{2BD} ). Начнем с того, что найдем векторы ( \mathbf{AC} ) и ( \mathbf{BD} ) из заданных точек:
- ( A(-1, 6) )
- ( B(-4, -9) )
- ( C(8, -10) )
- ( D(7, 27) )
Шаг 1: Найдем вектор ( \mathbf{AC} )
Вектор ( \mathbf{AC} ) можно найти по формуле:
[
\mathbf{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A)
]
Подставим координаты точек ( A ) и ( C ):
[
\mathbf{AC} = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16)
]
Шаг 2: Найдем вектор ( \mathbf{BD} )
Аналогично найдём вектор ( \mathbf{BD} ):
[
\mathbf{BD} = D - B = (x_D - x_B, y_D - y_B)
]
Подставим координаты точек ( B ) и ( D ):
[
\mathbf{BD} = (7 - (-4), 27 - (-9)) = (7 + 4, 27 + 9) = (11, 36)
]
Шаг 3: Применим коэффициенты к вектору
Теперь найдем ( 3\mathbf{AC} ) и ( 2\mathbf{BD} ):
[
3\mathbf{AC} = 3(9, -16) = (27, -48)
]
[
2\mathbf{BD} = 2(11, 36) = (22, 72)
]
Шаг 4: Вычислим ( \mathbf{3AC} - \mathbf{2BD} )
Теперь вычтем вектор ( 2\mathbf{BD} ) из ( 3\mathbf{AC} ):
[
\mathbf{3AC} - \mathbf{2BD} = (27, -48) - (22, 72) = (27 - 22, -48 - 72) = (5, -120)
]
Шаг 5: Найдем длину вектора ( \mathbf{5, -120} )
Длина вектора ( (x, y) ) рассчитывается по формуле:
[
|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}
]
Для нашего вектора ( (5, -120) ):
[
|\mathbf{3AC} - \mathbf{2BD}| = \sqrt{5^2 + (-120)^2} = \sqrt{25 + 14400} = \sqrt{14425}
]
Шаг 6: Упростим длину
Теперь упростим ( \sqrt{14425} ):
[
\sqrt{14425} = \sqrt{25 \times 577} = 5\sqrt{577}
]
Ответ
Длина вектора ( 3\mathbf{AC} - 2\mathbf{BD} ) равна ( 5\sqrt{577} ).
