На координатной плоскости заданы точки А (-1;6), B (-4;-9), C (8;-10)и D (7;27). Найдите длину вектора 3AC- 2Bd

Для решения данной задачи найдем длину вектора \( \mathbf{3AC} - \mathbf{2BD} \). Начнем с того, что найдем векторы \( \mathbf{AC} \) и \( \mathbf{BD} \) из заданных точек:

• \( A(-1, 6) \)
• \( B(-4, -9) \)
• \( C(8, -10) \)
• \( D(7, 27) \)

Шаг 1: Найдем вектор \( \mathbf{AC} \)

Вектор \( \mathbf{AC} \) можно найти по формуле: \[ \mathbf{AC} = C - A = (x_C - x_A, y_C - y_A) \] Подставим координаты точек \( A \) и \( C \): \[ \mathbf{AC} = (8 - (-1), -10 - 6) = (8 + 1, -10 - 6) = (9, -16) \]

Шаг 2: Найдем вектор \( \mathbf{BD} \)

Аналогично найдём вектор \( \mathbf{BD} \): \[ \mathbf{BD} = D - B = (x_D - x_B, y_D - y_B) \] Подставим координаты точек \( B \) и \( D \): \[ \mathbf{BD} = (7 - (-4), 27 - (-9)) = (7 + 4, 27 + 9) = (11, 36) \]

Шаг 3: Применим коэффициенты к вектору

Теперь найдем \( 3\mathbf{AC} \) и \( 2\mathbf{BD} \): \[ 3\mathbf{AC} = 3(9, -16) = (27, -48) \] \[ 2\mathbf{BD} = 2(11, 36) = (22, 72) \]

Шаг 4: Вычислим \( \mathbf{3AC} - \mathbf{2BD} \)

Теперь вычтем вектор \( 2\mathbf{BD} \) из \( 3\mathbf{AC} \): \[ \mathbf{3AC} - \mathbf{2BD} = (27, -48) - (22, 72) = (27 - 22, -48 - 72) = (5, -120) \]

Шаг 5: Найдем длину вектора \( \mathbf{5, -120} \)

Длина вектора \( (x, y) \) рассчитывается по формуле: \[ |\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Для нашего вектора \( (5, -120) \): \[ |\mathbf{3AC} - \mathbf{2BD}| = \sqrt{5^2 + (-120)^2} = \sqrt{25 + 14400} = \sqrt{14425} \]

Шаг 6: Упростим длину

Теперь упростим \( \sqrt{14425} \): \[ \sqrt{14425} = \sqrt{25 \times 577} = 5\sqrt{577} \]

Ответ

Длина вектора \( 3\mathbf{AC} - 2\mathbf{BD} \) равна \( 5\sqrt{577} \).