в треугольнике ABC угол C равен 90° ,AB=30°, sin A=корень3/2. найдите AC

Для решения данной задачи начнем с того, что мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Даны следующие значения: \( AB = 30 \) (гипотенуза) и \( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

Шаг 1: Определим угол A

Сначала вспомним, что синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащей стороны к длине гипотенузы. То есть:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{30} \]

Шаг 2: Найдем длину стороны BC

Теперь выразим длину стороны \( BC \):

\[ BC = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \]

Шаг 3: Найдем угол B

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а у нас угол C равен 90°, мы можем найти угол B следующим образом:

\[ A + B + C = 180° \]

Это означает:

\[ A + B + 90° = 180° \]

Следовательно,

\[ A + B = 90° \]

Таким образом, угол B равен:

\[ B = 90° - A \]

Шаг 4: Найдем сторону AC

Теперь применим синус для угла B:

\[ \sin B = \frac{AC}{AB} \]

Значение \( \sin B \) также можно выразить через \( \sin A \):

\[ \sin B = \cos A \]

Вспомнив, что \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), и подставив \( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 A = 1 \]

Это можно записать как:

\[ \frac{3}{4} + \cos^2 A = 1 \]

Следовательно:

\[ \cos^2 A = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \]

Поэтому:

\[ \cos A = \frac{1}{2} \]

Теперь можем выразить сторону \( AC \):

\[ \sin B = \cos A = \frac{1}{2} \]

Тогда:

\[ \frac{1}{2} = \frac{AC}{30} \]

Отсюда находим \( AC \):

\[ AC = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15 \]

Ответ

Длина стороны \( AC \) равна 15.