Для решения данной задачи начнем с того, что мы имеем прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Даны следующие значения: ( AB = 30 ) (гипотенуза) и ( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} ).
Шаг 1: Определим угол A
Сначала вспомним, что синус угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащей стороны к длине гипотенузы. То есть:
[
\sin A = \frac{BC}{AB}
]
Подставим известные значения:
[
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{30}
]
Шаг 2: Найдем длину стороны BC
Теперь выразим длину стороны ( BC ):
[
BC = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}
]
Шаг 3: Найдем угол B
Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а у нас угол C равен 90°, мы можем найти угол B следующим образом:
[
A + B + C = 180°
]
Это означает:
[
A + B + 90° = 180°
]
Следовательно,
[
A + B = 90°
]
Таким образом, угол B равен:
[
B = 90° - A
]
Шаг 4: Найдем сторону AC
Теперь применим синус для угла B:
[
\sin B = \frac{AC}{AB}
]
Значение ( \sin B ) также можно выразить через ( \sin A ):
[
\sin B = \cos A
]
Вспомнив, что ( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 ), и подставив ( \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \cos^2 A = 1
]
Это можно записать как:
[
\frac{3}{4} + \cos^2 A = 1
]
Следовательно:
[
\cos^2 A = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}
]
Поэтому:
[
\cos A = \frac{1}{2}
]
Теперь можем выразить сторону ( AC ):
[
\sin B = \cos A = \frac{1}{2}
]
Тогда:
[
\frac{1}{2} = \frac{AC}{30}
]
Отсюда находим ( AC ):
[
AC = 30 \cdot \frac{1}{2} = 15
]
Ответ
Длина стороны ( AC ) равна 15.
