5

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x + 1 \) и \( y = (x - 1)^2 \), нужно определить точки пересечения и провести интегрирование между этими точками. ### Шаг 1: Найти точки пересечения Приравняем уравнения: \[ x + 1 = (x - 1)^2 \] Раскроем скобки и упростим: \[ x + 1 = x^2 - 2x + 1 \] Перенесем все в одну сторону: \[ x^2 - 3x = 0 \] Решим уравнение: \[ x(x - 3) = 0 \] Получаем два корня: \( x = 0 \) и \( x = 3 \). ### Шаг 2: Найти площадь между кривыми Функция \( y = x + 1 \) выше \( y = (x - 1)^2 \) на интервале от \( x = 0 \) до \( x = 3 \). Теперь вычислим интеграл разности функций: \[ \int_{0}^{3} ((x + 1) - (x - 1)^2) \, dx \] Упростим подынтегральное выражение: \[ (x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = x + 1 - x^2 + 2x - 1 = -x^2 + 3x \] Теперь вычислим интеграл: \[ \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx \] Рассчитаем интеграл: \[ = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3} \] Подставим пределы интегрирования: \[ = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) \] \[ = \left( -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} \right) \] \[ = \left( -9 + 13.5 \right) \] \[ = 4.5 \] Таким образом, площадь фигуры равна 4.5. Ответ: **4.5**.