5

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x + 1 \) и \( y = (x - 1)^2 \), нужно определить точки пересечения и провести интегрирование между этими точками.

Шаг 1: Найти точки пересечения

Приравняем уравнения:

\[ x + 1 = (x - 1)^2 \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ x + 1 = x^2 - 2x + 1 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 - 3x = 0 \]

Решим уравнение:

\[ x(x - 3) = 0 \]

Получаем два корня: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

Шаг 2: Найти площадь между кривыми

Функция \( y = x + 1 \) выше \( y = (x - 1)^2 \) на интервале от \( x = 0 \) до \( x = 3 \).

Теперь вычислим интеграл разности функций:

\[ \int_{0}^{3} ((x + 1) - (x - 1)^2) \, dx \]

Упростим подынтегральное выражение:

\[ (x + 1) - (x^2 - 2x + 1) = x + 1 - x^2 + 2x - 1 = -x^2 + 3x \]

Теперь вычислим интеграл:

\[ \int_{0}^{3} (-x^2 + 3x) \, dx \]

Рассчитаем интеграл:

\[ = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} \right]_{0}^{3} \]

Подставим пределы интегрирования:

\[ = \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} \right) \]

\[ = \left( -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} \right) \]

\[ = \left( -9 + 13.5 \right) \]

\[ = 4.5 \]

Таким образом, площадь фигуры равна 4.5. Ответ: 4.5.