6

Чтобы решить интеграл \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{(x - 1)^3} \, dx \] поймем, что происходит при подходе к точке \(x = 1\). ### Анализ интеграла Функция \(\frac{1}{(x - 1)^3}\) имеет разрыв в \(x = 1\) из-за вычитания в знаменателе. Таким образом, интеграл может представлять проблему из-за этой особенности. ### Локальный анализ Рассмотрим поведение функции на границах: - Вблизи \(x = 1\), \((x - 1)^3\) становится очень малой величиной, и \(\frac{1}{(x - 1)^3}\) стремится к \(\infty\). ### Проверка на сходимость Давайте подробнейшим образом приблизимся к оценке на интервале \( (0, 1) \): 1. **Вычисление интеграла с заменой** Необходимо разделить интеграл на два интервала: \( \int_{0}^{1-\epsilon} \) и \(\int_{1-\epsilon}^{1} \) и исследовать поведение второго на предмет сходимости. 2. **Интеграл на \( (1-\epsilon, 1) \)**: При малом \(\epsilon \to 0\), \[ \int_{1-\epsilon}^{1} \frac{1}{(x - 1)^3} \, dx = \int_{-\epsilon}^{0} \frac{1}{t^3} \, (-dt) = \int_{\epsilon}^{0} \frac{1}{-t^3} \, dt \] Здесь замена \( t = x - 1 \), так что \( dt = dx \). 3. **Разрешение интеграла**: \[ = \left[ \frac{1}{2t^2} \right]_{-\epsilon}^{0} = \frac{1}{2(0)^2} - \frac{1}{2(-\epsilon)^2} = -\frac{1}{2\epsilon^2} \] Предел этой величины, при \(\epsilon \to 0\), стремится в бесконечность, что указывает на то, что интеграл расходится на этой границе. ### Итог Следовательно, интеграл \[ \int_{0}^{1} \frac{1}{(x - 1)^3} \, dx \] расходится. Ответ — **расходится**.