6
Чтобы решить интеграл
\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{(x - 1)^3} \, dx \]
поймем, что происходит при подходе к точке \(x = 1\).
Анализ интеграла
Функция \(\frac{1}{(x - 1)^3}\) имеет разрыв в \(x = 1\) из-за вычитания в знаменателе. Таким образом, интеграл может представлять проблему из-за этой особенности.
Локальный анализ
Рассмотрим поведение функции на границах:
- Вблизи \(x = 1\), \((x - 1)^3\) становится очень малой величиной, и \(\frac{1}{(x - 1)^3}\) стремится к \(\infty\).
Проверка на сходимость
Давайте подробнейшим образом приблизимся к оценке на интервале \( (0, 1) \):
Вычисление интеграла с заменой
Необходимо разделить интеграл на два интервала: \( \int_{0}^{1-\epsilon} \) и \(\int_{1-\epsilon}^{1} \) и исследовать поведение второго на предмет сходимости.
Интеграл на \( (1-\epsilon, 1) \):
При малом \(\epsilon \to 0\),
\[ \int_{1-\epsilon}^{1} \frac{1}{(x - 1)^3} \, dx = \int_{-\epsilon}^{0} \frac{1}{t^3} \, (-dt) = \int_{\epsilon}^{0} \frac{1}{-t^3} \, dt \]
Здесь замена \( t = x - 1 \), так что \( dt = dx \).
Разрешение интеграла:
\[ = \left[ \frac{1}{2t^2} \right]_{-\epsilon}^{0} = \frac{1}{2(0)^2} - \frac{1}{2(-\epsilon)^2} = -\frac{1}{2\epsilon^2} \]
Предел этой величины, при \(\epsilon \to 0\), стремится в бесконечность, что указывает на то, что интеграл расходится на этой границе.
Итог
Следовательно, интеграл
\[ \int_{0}^{1} \frac{1}{(x - 1)^3} \, dx \]
расходится. Ответ — расходится.
