Давайте разберем заданную задачу и построим график функции (y = x^2 + 2x - 5), а также определим, при каких значениях (t) прямая (y = t) пересекает этот график в двух точках.
Шаг 1: Определение функции
Функция, заданная в задаче, имеет вид:
[
y = x^2 + 2x - 5
]
Шаг 2: Поиск пересечений с горизонтальной прямой
Чтобы найти значения (t), при которых прямая (y = t) имеет с графиком данной функции ровно две общие точки, мы приравняем (y) к (t):
[
t = x^2 + 2x - 5
]
Перепишем это уравнение так, чтобы равенство было равно нулю:
[
x^2 + 2x - (5 + t) = 0
]
Шаг 3: Условия для двух решений
Это квадратное уравнение имеет два различных решения, если его дискриминант (D) больше 0. Дискриминант для квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) вычисляется по формуле:
[
D = b^2 - 4ac
]
В нашем уравнении:
- (a = 1)
- (b = 2)
- (c = -(5 + t))
Подставим эти значения в формулу дискриминанта:
[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(5 + t)) = 4 + 4(5 + t) = 4 + 20 + 4t = 24 + 4t
]
Теперь, чтобы у нас было два различных решения, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля:
[
24 + 4t > 0
]
Шаг 4: Решение неравенства
Решим неравенство:
[
4t > -24
]
[
t > -6
]
Итог
Таким образом, прямая (y = t) будет пересекаться с графиком функции (y = x^2 + 2x - 5) в двух точках при значениях (t > -6).
Если вам нужно построить график функции для наглядности, можно использовать графические инструменты или графические калькуляторы, чтобы увидеть, как прямая находится относительно параболы.
