Трое рабочих, работая совместно могут выполнить заказ за 42 минуты. первый из них, работая один, может выполнить работы вдвое медленнее второго и на 2 часа скорее третьего. за сколько времени может выполнить заказ каждый из них, работая отдельно?

Решим задачу о работе трех рабочих, используя информацию, данную в условии, и шаг за шагом разберем, как ее решить. Обозначим: - Время, которое требуется первому рабочему на выполнение заказа, как \( t_1 \) (в минутах). - Время, которое требуется второму рабочему на выполнение заказа, как \( t_2 \) (в минутах). - Время, которое требуется третьему рабочему на выполнение заказа, как \( t_3 \) (в минутах). Согласно условию задачи: 1. Все трое рабочих могут выполнить заказ вместе за 42 минуты. 2. Первый рабочий выполняет работу вдвое медленнее второго, что можно записать как: \[ t_1 = 2t_2 \] 3. Первый рабочий выполняет работы на 2 часа (то есть 120 минут) быстрее третьего: \[ t_1 = t_3 - 120 \] Теперь мы можем записать общий вклад всех рабочих в выполнении заказа. Когда все три работают вместе, сумма их рабочих мощностей равна: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \frac{1}{t_3} = \frac{1}{42} \] Теперь подставим выражения для \( t_1 \) в зависимости от \( t_2 \) и \( t_3 \): 1. Из \( t_1 = 2t_2 \) получаем, что \( t_2 = \frac{t_1}{2} \). 2. Также из \( t_1 = t_3 - 120 \) следует \( t_3 = t_1 + 120 \). Теперь подставим эти выражения в уравнение суммы производительностей: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{1}{\frac{t_1}{2}} + \frac{1}{t_1 + 120} = \frac{1}{42} \] Упростим дроби: \[ \frac{1}{t_1} + \frac{2}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 120} = \frac{1}{42} \] \[ \frac{3}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 120} = \frac{1}{42} \] Теперь умножим все члены уравнения на \( 42t_1(t_1 + 120) \), чтобы избавиться от дробей: \[ 3 \cdot 42(t_1 + 120) + 42t_1 = t_1(t_1 + 120) \] \[ 126t_1 + 3600 + 42t_1 = t_1^2 + 120t_1 \] Объединим подобные члены: \[ 168t_1 + 3600 = t_1^2 + 120t_1 \] Переносим все в одну сторону: \[ t_1^2 - 48t_1 - 3600 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы: \[ t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -48 \) и \( c = -3600 \). \[ t_1 = \frac{48 \pm \sqrt{(-48)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3600)}}{2 \cdot 1} \] \[ t_1 = \frac{48 \pm \sqrt{2304 + 14400}}{2} \] \[ t_1 = \frac{48 \pm \sqrt{16704}}{2} \] \[ t_1 = \frac{48 \pm 129.3}{2} \] Считаем два возможных значения: 1. \( t_1 = \frac{177.3}{2} \approx 88.65 \) (первый рабочий) 2. \( t_1 = \frac{-81.3}{2} \) (отрицательное значение отбрасываем) Теперь подставим значение \( t_1 \) для нахождения \( t_2 \) и \( t_3 \): \[ t_2 = \frac{t_1}{2} \approx \frac{88.65}{2} \approx 44.32 \] \[ t_3 = t_1 + 120 \approx 88.65 + 120 \approx 208.65 \] Таким образом, мы получили: - Первый рабочий: \( t_1 \approx 88.65 \) минут (около 89 минут). - Второй рабочий: \( t_2 \approx 44.32 \) минут (около 44 минут). - Третий рабочий: \( t_3 \approx 208.65 \) минут (около 209 минут). На этом решение завершено. Если есть вопросы по методике, задавайте!